Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2014 - 2015 môn Toán

PHÒNG GD-ĐT ................... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học : 2014 - 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho biểu thức P = x x x x

x x x

3 1 1

1 1       a) Tìm điều kiện của x để P được xác định.

b) Rót gän P.

c) T×m x khi P = 1.

Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các bộ ba số thực x, y, z thoả:

x y z x y z 6 4 5 34 6 2014 9 2015 5 2016 2014 2015 2016            

Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho , với n N . Chứng minh rằng, nếu T 1 12n 2 2 T 2     là số tự nhiên thì T là số chính phương.

Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Cho đường tròn (O, R) và điểm A với OA = 2R. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AE và AF đến (O). (E, F là 2 tiếp điểm). Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C).

a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R.

b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M. Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM và OFM.

c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q. Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng qui.

-----------------------------------------------HẾT------------------------------------------

ThuVienDeThi.com

UBND THỊ XÃ BA ĐỒN PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃNĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng. * Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. * Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0.5 điểm thì tùy tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0.25 điểm. * Học sinh không vẽ hình đối với Câu 4 thì cho điểm 0 đối với Câu 4. Trường hợp học sinh có vẽ hình, nếu vẽ sai ở ý nào thì cho điểm 0 ở ý đó. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tùy theo mức điểm của từng câu. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu. Câu Nội dung Điểm

P =

1 1

1 1

3



      

x

x x

x x x x

a) Ta phải có : 1 1 1

0 1

0 1

0 1

0

    

  

 



 





 

  

 



x x x

x

x x

x x

0.5

b) P = = 1 1 1 1



   

    

x

x x x x x

x x x x 0.5

= = 1

)1 ( 1 1 1



  

    

x

x x x x x x 0.25

= = x - x x x x x       1 1 1 2  x 0.25 c) Víi x > 1: P = 1 x - = 1 x - 1 - = 0  1 2  x  1 2  x  0.25 = 0  0 ) 2 1 ( 1     x x  2 1   x  0.5

1

x - 1 = 4 x = 5  2 1   x   0.25

ThuVienDeThi.com

Ta cã:

x y z x y z

6 4 5 34 6 2014 9 2015 5 2016 2014 2015 2016            

+ + + + + 

x

6

2014 

x 6 2014 

y

4

2015 

y 9 2015 

z

5

2016 

= 34 (1) z 5 2016 

0.5

Với điều kiện: x > 2014, y > 2015, z > 2016, theo Cauchy:

+ 12 (2) x

6

2014 

x 6 2014  

+ 12 (3) y

4

2015 

y 9 2015  

+ 10 (4) y

5

2016 

y 5 2016  

0.25

0.25

0.25

Suy ra: + + + + x

6

2014 

x 6 2014 

y

4

2015 

y 9 2015 

+ 34 (5) z

5

2016 

z 5 2016  

0.5

2

Như thế (1) xảy ra khi chỉ khi dấu đẳng thức ë (5) xảy ra, khi chỉ khi các dấu đẳng thức ë (2),(3),(4) đồng thời xảy ra, khi chỉ khi:

x x x

y y y

z z z

6 6 2014 2015 2014 4 4 9 2015 2015 9 2015

2017 5 5 2016 2016

                    

     

 

0.25

0.5

Trước hết nhận xét rằng : Nếu tích của hai số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số cũng là một số chính phương.

0.5

Nếu T là một số tự nhiên thì 12n2 + 1 là một số chính phương lẻ. 0.25 3 Giả sử : 12n2 + 1 = (2k - 1)2 ; k  N     1 k 4k 1 1 2k 12n

2 2      

hoÆc 3 k   3 1) - (k 

0.5

ThuVienDeThi.com