Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp trường năm học 2014 -2015 - môn thi Toán 9 - Trường THCS Nghĩa Thắng

1

PHÒNG GD & ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2014-2015

- Môn thi: TOÁN 9 - Ngày thi: 02-11-2014 - Thời gian: 150 phút (không kể phát đề)

Bài 1: (4,5 điểm). 3 3 2 9 1 : 9 2 3 (2 )(3 )

x x x x x P x x x x x

                         a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị của x để P = 1+2015x Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình sau: x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0 b) Với giá trị nào của m thì hàm số: y = (m2 - 4)x + 2015 là hàm số bậc nhất ? Bài 3: (4 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB

và AD kéo dài tại F và E.

a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.

b/ Chứng minh rằng:

2

2 DE AE BF AF 

Bài 4: (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = + 2011 7 4 3 7 4 3   

b) Chứng minh rằng : (a>0, b>0) b b b a

a b b a

b a

ab b a     

  2015 . . 1008 4 ) (. 1008

2

Bài 5: (3,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết BC = 6 và sinB = 2 sinC. 5 Tính các cạnh AC và AB

--- HẾT ---

ThuVienDeThi.com

2

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG

Năm học 2014-2015 Môn thi: TOÁN 9

Câu Nội dung Điểm 1 (4,5) a) ĐK







    





 

 



4 x

9 x

0 x

0 x 2

0 9 x

0 x

Ta có:

( 3) ( 3)(3 ) ( 2)(2 ) 9 1 : ( 3)( 3) (2 )(3 ) x x x x x x x P

x x x x

                         

= 3 4 4 : 3 (2 )(3 )

x x

x x x

                 

=  

  



 

     

 2) x 2 (

) x 3 )( x 2 ( . 3 x

3

= . 2 x

3



Vậy P =

2 x

3



b) P = 1 -2015( vô lý ) 1 2 x

3   

không có x thỏa mãn

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

2 (4)

a) x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0 ( x3 -4x ) - (3x2 -12 ) = 0  x ( x2 -4 ) -3 ( x2 -4 ) = 0  ( x2 -4 ) ( x – 3 ) = 0  x2 - 4 = 0 hoặc x - 3 = 0  x2 = 4 hoặc x = 3  x = 2 hoặc x = 3   Vậy phương trình có tập nghiệm là S =   2;2;3  b) Hàm số: y = (m2 - 4)x + 2015 là hàm số bậc nhất m2 – 4  m = 2   Vậy m = 2 

0,5 0,5 0,5 0,5

1 0,5 0,5 3 (4)

a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.

(1) ( ) ED CD ED AE DCE AFE G G EA AF CD AF        :

(2) ( ) AE AF AE BC AFE BFC G G BC BF AF BF        :

Từ (1) và (2) suy ra: (không đổi 2 . . ED BC ED BF CD BC a CD BF    

Vậy: Tích DE.BF không đổi.

0.5

0.5

0.5 0.5

ThuVienDeThi.com

3

b/ Chứng minh rằng:

2

2 DE AE BF AF 

Nhân (1) và (2) vế theo vế , ta có: .

2

2 . ED BC EA CD BF AF 

Vì CD = BC nên

2

2 DE AE BF AF 

1

1

4 (4,0) a) A = = + +2011 7 4 3 7 4 3    2 (2 3)  2 (2 3) 

= + +2011 2 3  2 3 

= 2- +2 + +2011 3 3 = 4 +2011=2015

b) VT=

2 ( ) 4

.

a b ab a b b a

a b a b

    

2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4 a ab b ab a b ab

a b ab

      

=

b a

b a ab

b a

b a

.

) ( ) ( 2   



= ( ) a b a b   

(đpcm). 2 b 

Ta có :

b b b b a

a b b a

b a

ab b a      

  2015 2. 1008 2015 . . 1008 4 ) (. 1008

2

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

5 (3,5)

Ta có : Sin B = 2 SinC AC = 2 AB  Mà AB2 + AC2 = BC2

AB2 + (2AB)2 = BC2 5 AB2 = 36.5 AB = 6  AC = 12  Vậy AB = 6, AC = 12

1

1 1

0,5

6 5

C

B A

ThuVienDeThi.com