Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh lớp 9 Vòng 1 năm học 2015 - 2016. môn Toán

PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 – VÒNG 1

NĂM HỌC 2015-2016. Môn: TOÁN

(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

----------------------

C©u 1 (2.0 điểm)

a) Giải phương trình: .       2 (x 3)(x 5)(x 6)(x 10) 24x 0

b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c thỏa mãn và thì a b c 2015    1 1 1 1 a b c 2015   

một trong ba số a, b, c phải có một só bằng 2015.

C©u 2 (2.0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8 x x 1  

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì chia hết cho 9. n 4 15n 1  

c) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện và . Tìm 0 x y z 1     3x 2y z 4    giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 3x 2y z  

C©u 3 (4.0 điểm)

a) Cho x, y, z thỏa mãn . 4 x(x 1) y(y 1) z(z 1) 3      

Chứng minh rằng . x y z 4   

b) Tìm các số nguyên dương n để tổng là số chính phương. 4 3 2 n n n n 1    

C©u 4 (1.0 điểm)

Cho hình thoi ABCD với góc BAD bằng . Tia Ax tạo với tia AB một góc 0 120 0 15 cắt BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh:   2 2 2 3 3 4 AM AN AB

C©u 5 (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB=AC=a. Vẽ hình chữ nhật AEMF có chu vi bằng 2a và . E AB, F AC  

a) Tính góc MCF

b) Từ M vẽ đường thẳng . Chứng minh rằng đường thẳng MN MN EF (N EF)   luôn đi qua một điểm cố định.

-------Hết-------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

Họ và tên thí sinh:………………………………………………….SBD:……………

ĐÁP ÁN Câu Nội dung

1

a)                    2 2 (x 3)(x 5)(x 6)(x 10) 24x 0 (x 3)(x 10) (x 5)(x 6) 24x 0

                     

2 2 2 2 2 2 (x 13x 30)(x 11x 30) 24x 0 (x 30 12x) x (x 30 12x) x 24x 0

           2 2 2 2 2 2 2 (x 30 12x) x 24x 0 (x 30 12x) 25x 0

        2 2 (x 30 12x 5x)(x 30 12x 5x) 0

                         

2

2 2

(x 2)(x 15) x 17x 30 0 x 2 x 5 (x 3) 21 0 (VN) x 6x 30 0

b) Từ và a b c 2015    1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2015 a b c a b c          bc ac ab 1 (bc ac ab)(a b c) abc abc a b c             (bc ac)(a b) (bc ac)c ab(a b) abc abc         

2 2 (bc ac)(a b) (b a)c ab(a b) 0 (a b)(bc ac c ab) 0              

mà a+b+c=2015 nên một trong ba số a, b, c phải a b 0 (a b)(b c)(a c) 0 b c 0 a c 0

                có một só bằng 2015

2

a)           8 8 2 2 2 6 2 2 3 3 2 x x 1 x x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1                 

         2 2 3 2 2 2 3 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 1                      2 6 5 3 2 x x 1 x x x x 1       

b) Xét n=0 thì 0 4 15.0 1 0 9   Xét n=1 thì 14 151 1 18 9    Giả sử bài toán đúng với n=k tức là k 4 15k 1 9   Ta sẽ chứng minh bài toán đúng với n=k+1 Thật vậy    k 1 k k k 4 15(k 1) 1 4 .4 15k 15 1 4 15k 1 4 .3 15          

   k k 4 15k 1 3 4 5 9      

Vậy chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. n 4 15n 1   c) Từ kết hợp với 0 x y z 1 y 1;z 1       3x 2y z 4 (3x 1) 2(y 1) (z 1) 0         

suy ra

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 10 x ;y 1;z 1 x ;y 1;z 1 3x ;2y 2;z 1 3x 2y z 2 1 3 9 3 3 3             

Dấu “=” xả ra 1 x ;y 1;z 1 (TM) 3    

Vậy min ( khi 2 2 2 10 3x 2y z ) 3    1 x ;y 1;z 1 3   

ThuVienDeThi.com