Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp dạy kèm lớp 9 THCS năm học 2015 - 2016 môn Toán

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯƠNG QUANG AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP DẠY KÈM LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán

(Đề có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: , biết 3 ( ) 3( )( 1) M x y x y xy     

3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2015, 17 12 2 17 12 2 2016 x y          

b) Giải phương trình:

2 2 2015 2014 5 1 1 3 x x x x x x       Bài 2: a) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 3 4 (1)

12 6 +9 (2)

x y x

x x y x

         b) Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên

( 2013)( 2014)( 2015) ab bc ca P abc    

Bài 3: Tam giác ABC có chu vi bằng 1, các cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức:

3 2014 2015 2016 2 a b c a b c       Chứng minh tam giác ABC đều. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy M bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD.

a) Chứng minh AH vuông góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I.

Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng. Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y z F x y x y y z y z z x z x          ------------------Hết--------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:..............................................................................................Số báo danh.......................

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016 Bài 1: a) Ta có

     

3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 . 3 2 2 3 2 2 x             

(1). Tương tự: (2) 3 3 4 2 3 3 4 2 x x x x      3 3 24 2 y y  

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta được

3 3 3 3( ) ( ) 3( )( 1) 20 2 x y x y x y x y xy         

Vậy M = 20 2 

b) Ta có

2 2 2 2 1 3 1 3 1 0 ; 1 0 2 4 2 4 x x x x x x x x                         Dể thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, do đó phương trình đã cho tương đương với

(với ) 2 1 5 1 1 3 t t    

1 t x x    2 5 3 14 0( 1; 1) ( 2)(5 7) 0 t t t t t t         

2

7 5

t

t

    

* Nếu t = 2 2 1 2 ( 1) 0 1 x x x x        

* Nếu vô nghiệm. 7 5 t 

2 1 7 7 51 0 5 10 100 x x x

             Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1. Bài 2: a) Từ phương trình (1) ta suy ra: thế vào phương trình (2) thu gọn ta 2 2 9 12 3 3 x x y   

được:

3 3 2 2 2 2

2 2 0 3( ) ( )( 3 3 ) 0

3 3 0

x y x y x y x y x xy y x y

x xy y x y

                    * Nếu thế vào phương trình (1) ta được 2 2 0 x y y x y x     

phương trình này vô nghiệm. 2 2 2 3 4 2( 1) 1 0 x x x     

* Nếu , trừ vế theo vế của phương này với phương trình (1) ta được: 2 2 3 3 0 x xy y x y     

3 3 3 3 4 3 3 0 ( 3)( 1) 0 1 x xy x y x xy x y x y y

                   + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = 0 suy ra y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2). + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = 0 suy ra x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2). Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (3;0), (2; 1).

ThuVienDeThi.com