Đề thi học sinh giỏi môn Toán - Trương Quang An

TRƯƠNG QUANG AN - MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Ngày thi: 02 tháng 7 năm 2011 (Đợt 2)

Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,5 điểm)

a) Tính: A ( 25 2)( 25 2)   

b) Tìm điều kiện của x để biểu thức: có nghĩa. 2015 2016 B x 1 x 1     c) Giải phương trình: 2 . 2x 3x 1 0  

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: x 2y 1 3x 2y 7   

   

b) Cho hệ phương trình: 2 3x y 5 3m

x 2y 5m 4m

 

  

   Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện đạt giá trị nhỏ   x; y A x y   nhất. Câu 3 (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm , , và gọi A(0; 7)  B( 1; 2)  1 C( ; 6) 2 

đồ thị của hàm số là đường thẳng (d). y 2x 7   a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào thuộc đường thẳng (d)?

b) Tìm a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm và song song với B( 1; 2)  đường thẳng (d).

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là

một điểm trên bán kính OB sao cho OM = , đường thẳng CM cắt đường tròn (O, R) tại R

3 N và cắt đường thẳng BD tại K.

a) Chứng minh tứ giác OMND nội tiếp.

b) Chứng minh K là trung điểm của BD và

2

. R KC.KN 2 

c) Tính độ dài đoạn thẳng theo R. DN

Câu 5 (1,0 điểm)

Tìm các số nguyên , thoả mãn phương trình: x y 2 2 2 2014xy 2009x 2011y 2013 2015y 2010xy 2008x      

----------------------------- HẾT ------------------------------

Họ và tên thí sinh ................................................................ SBD .............................

(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 04 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

1

I. Một số chú ý khi chấm bài

 Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.

 Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.

 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.

II. Đáp án và biểu điểm

Câu 1 (2,50 điểm)

a) Tính: A ( 25 2)( 25 2)   

b) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa. 2015 2016 B x 1 x 1     c) Giải phương trình: 2 . 2x 3x 1 0  

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM

a) (0,75 điểm)

Vì nên 25 5  0,25 điểm

A (5 2)(5 2)    0,25 điểm

=7.3 21  0,25 điểm

b) ( 0,75 điểm)

Biểu thức B có nghĩa khi và chỉ khi: x 1 0

x 1 0

    0,25 điểm

x 1 x 1      0,25 điểm

Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là x 1; x 1   0,25 điểm

c) (1,00 điểm)

Ta có: 2 ( 3) 4.2.1 1    0,25 điểm

Vì nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 0   0,25 điểm

3 1 4 x 1 2.2 4 3 1 2 1 x 2.2 4 2

            

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1 S 1; 2       (Tính đúng mỗi nghiệm cho 0,25 điểm, không viết tập hợp nghiệm vẫn cho điểm)

0,50 điểm

ThuVienDeThi.com

2

Câu 2 (2,00 điểm)

a) Giải hệ phương trình: x 2y 1 3x 2y 7   

   

b) Cho hệ phương trình: 2 3x y 5 3m

x 2y 5m 4m

 

  

  

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện đạt giá trị nhỏ nhất.   x; y A x y  

a) (1,00 điểm)

Trừ vế với vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ ta được 0,25 điểm

2x 6 x 3    0,25 điểm

Thay x = 3 vào phương trình đầu của hệ, ta tìm được y = -1 0,25 điểm

Vậy hệ phương trình có nghiệm x 3

y 1.

    0,25 điểm

b) (1,00 điểm) Thay (1) vào phương trình thứ hai của hệ ta được y 5 3m 3x    2 x 10 6m 6x 5m 4m      2 x 2 2m m    

0,25 điểm

Khi đó 2 y 3m 3m 1    Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất





2

2 x 2 2m m 2

y 3m 3m 1 3

       

0,25 điểm

Từ (2) và (3) ta suy ra 2 A 2m m 1   

, với .

2 1 7 7 2 m 4 8 8          

m  0,25 điểm

Dấu “=” xảy ra . Vậy min = .  1 m 4  A 7 8  1 m 4  0,25 điểm

Câu 3 (1,50 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm , , A(0; 7)  B( 1; 2) 

và gọi đồ thị của hàm số là đường thẳng (d). 1 C( ; 6) 2  y 2x 7  

a) Trong ba điểm A, B, C điểm nào thuộc đường …