Kỳ thi chọn học sinh giỏi năm học 2001 - 2002 môn Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TƯ NGHĨA NĂM HỌC 2001 - 2002

MÔN: TOÁN Lớp 9 - THCS Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2002

Câu I (4đ)

Cho biểu thức P = 1 8 3 1 1 1 : 10 3 1 3 1 1 1 x x x x x x x x

æ ö æ ö - + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç - + - - - - - è ø è ø 1) Rút gọn P

2) Tính giá trị của P khi x = 4 4

2 2 3

2 2 3

2 2 3

2 2 3



  



Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).

1) Tính độ dài AB. 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ)

1) Giải hệ phương trình

  

 



 

 

. 2 1

2

2

2

y x y

x y x

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 2015 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:

1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2) KH AM.  Câu V (2đ) Với . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: 1 ; ; 0   z y x

z y x yz x

z xy z

y zx y

x

          

3 1 1 1

--------------------------------------

§Ò CHÝNH THøC

ThuVienDeThi.com

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 27/03/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức: với  

2 A = x 50 x + 50 x + x 50    x 50 

b) Cho . Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2015 x + 3 = 2 Câu 2 (2,0 điểm):

a) Giải phương trình

2 2 4x 3x + = 6 x 5x + 6 x 7x + 6  

b) Giải hệ phương trình sau: x + y + 4 xy =16

x + y =10

  Câu 3 (2,0 điểm): a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 2 2 4a + 3ab 11b  thì chia hết cho 5.  4 4 a b

b) Cho phương trình với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết 2 ax +bx+1 0  5 3 x =

5+ 3



là nghiệm của phương trình. Câu 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi. c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME. Câu 5 (1,0 điểm):

Cho với n . n 1 A = (2n +1) 2n 1 

* A

Chứng minh rằng: . 1 2 3 2015 A + A + A +...+ A <1 ------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… ….. Số báo danh …………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH.

NĂM HỌC: 2001 - 2002 Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho biểu thức: 2 2 2 ( 1)( 2 ) x x P

x x x x x x x         a. Rút gọn . P b. Tính P khi . 3 2 2 x   c. Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên. x P Câu 2. Giải phương trình:

a. 2 10 27 6 4 x x x x       b. 2 2 2 4 0 x x x x x      Câu 3.

a. Tìm các số nguyên thỏa mãn: ;x y 2 2 3 2 0 y xy x    

b. Cho , chứng minh: 1; 0 x y  

3

3 3 1 1 1 3 2 3 ( 1) 1 x x x x y y x y                     c. Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố. n 201205 2014 1 A n n    Câu 4.

Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.

a. Chứng minh: không đổi 2 2 1 1 AE AF 

b. Chứng minh: A A A A A os sin .cos sin .cos c AKE EKF EFK EFK EKF   c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho …