Đề thi học sinh giỏi năm học môn thi Toán lớp 9

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ thi HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: .............. MÔN THI: TOÁN – LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: ...... tháng ..... năm ...........

Câu I. (4,0 điểm):

Cho biểu thức P =  

x

x

x

x

x x

x x



  

   



3

3

1

3 2

3 2

3

1. Rút gọn P 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị tương ứng của x.

Câu 2. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình:    

2 2 2 2 1 10 5 11 6 2       x x x x x

b) Tìm các số hữu tỷ x, y thỏa mãn:



 

  

  

1 15 19 6

4 2

2 2

3 3

y xy x

y x y x

c) Tìm số tự nhiên n để là số nguyên tố. 1 2002 2012    n n A

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i.     abc a c c b b a     ii.     3 3 3 3 3 3 3 3 3 c b a a c c b b a     Chứng minh rằng: . 0  abc

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho là số hữu tỷ. 4 3 2 1 p p p p    

Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm P trên cung AB không chứa C của đường tròn (O) (P khác A và B). Đường thẳng qua P vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại Q, R; đường thẳng qua P vuông góc với OB cắt các đường thẳng AB, BC theo thứ tự tại S, T.

a) Giả sử tam giác ABC cân tại C. Tìm vị trí của P trên cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giá trị lớn nhất.

b) Chứng minh rằng PQ2 = QR.ST.

2. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 108o. Chứng minh là số vô tỉ. AC BC

Câu 5. (2,0 điểm)

a) Cho ba số dương a, b và c thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1    c b a  

a c c b b a

ca bc ab c b a A 2 2 2 2 2 2 14  

     

b) Giả sử là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa 11 2 1 ,....., , a a a mãn . Tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho tổng các số dư của các phép 407 ...... 11 2 1     a a a chia n cho 22 số bằng 2012? 11 2 1 11 2 1 4 ,......., 4, 4, ,....., , a a a a a a

-------------------Hết------------------

(Đề thi gồm 01 trang)

Đề chính thức

ThuVienDeThi.com

đáp án và biểu điểm Câu I. (4,0 điểm):

- ĐKXĐ : 9 ,0   x x 1. Với thì 9 ,0   x x

P = =  

x

x

x

x

x x

x x



  

   



3

3

1

3 2

3 2

3

  

     

      3 1

1 3 3 1

3 3 2 3 1

3

 

    

    



x x

x x x x

x x x x

x x

= = 2®    3 1

24 8 3

 

  

x x

x x x x

1 8   x x

2. Với thì P = = 9 ,0   x x

1 8   x x 2 1 9 1    

x x   4 2 6 2 1 1 9 2        x x giá trị nhỏ nhất của P = 4 x = 4 ( thỏa mãn đkxđ) 2®  

Bài 2:

a) Ta có:                 

2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 10 2 5 5 2 10 2 2 1 10 5 11 6 2                  x x x x x x x x x x Đặt , pt trở thành: 0,5® 2  x y

0,5®     

  1 0 1

0 1 5 10 10 5

10 20 100 1 100 25 10 100 20 25 100

1 10 5 5 10

5

2 3 4 5

2 3 2 4 2 3 2 4

2 2 2 2

    

      

           

    

y y

y y y y y

y y y y y y y y y y y

y y y y y

Với 3 1 2 1       x x y Vậy pt có nghiệm duy nhất . 0,5® 3  x

b)

 Nếu thay vào hệ ta được: (hệ vô nghiệm) 0,5® 0  x



 



 

1 15

4 2

2

3

y

y y

 Nếu , đặt hệ trở thành: 0,5® 0  x tx y      

 

  

    

 

  

  

1 6 19 15

4 1 2 1

1 15 19 6

4 2

2 2

3 2

2 2 2 2

3 3 3

t t x

t t x

x t tx x

tx x x t x

Suy ra và 0 6 19 15 ;0 2 1 2 3      t t t 0 5 5 61 62 6 19 15

1 2 1

4 1 2 3 2 3         

 t t t t t t

t

(do )    2 1 0 1 2 0 5 15 31 1 2 2           t t t t t Q t Q y x    ,

Suy ra . 1 2 4 2        y x x Vậy hệ pt có nghiệm . 0,5®    1 ;2 , 1 ;2   c)  Xét thì A = 1 không phải số nguyên tố; 0,5® 0 n 

 Xét thì A = 3 là số nguyên tố. 0,5® 1 n 

 XÐt n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1

= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0,5®

Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 - 1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + 1

Tương tự: (n3)667 – 1 chia hết cho n2 + n + 1

Vậy A chia …