Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Môn Toán Năm học 2014 - 2015 - Trường THCS Thanh Thùy

1

Phòng GD & ĐT Thanh Oai đề thi học sinh giỏi lớp 9 Trường THCS Thanh Thùy Môn : Toán Năm học : 2014 -2015 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.( 6 ®) Cho biểu thức P = - + ( với x≥ 0 ; x≠ 1)

a) Rót gän biÓu thøc P

b) Tính giá trị biểu thức với x = + + 2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Bài 2( 4 ®)

1) Giải các phương trình sau:

a) x + 4x + 5 = 2 2 2x + 3

b) x - x - x = 3 2

2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình.

x + y + 1 = xyz

Bài 3( 4®) a) Cho x;y;z là 3 số thỏa mãn điều kiện

4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 2 2 2

Tính giá trị của biểu thức A = (x- 4) + ( y - 4) + (z - 4) 2015 2015 2015

b) Cho x,y,z > 0; x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = + +

Bài 4 ( 5 đ ) Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ

dây AM của đường tròn (O) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi 

BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O)và (O’) với B (O)và C (O’)  

1. Chứng minh OM // O’N.

2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui.

3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị

lớn nhất đó.

Bài 5( 1®) Không dùng máy tính, bảng số với 4chữ số thập phân

CMR sin75 = 0

ThuVienDeThi.com

2

Hướng dẫn chấm

Bài Nội dung Điểm Bài 1 (6 đ )

a. P = - +

=

=

= =.....

=

=

b. §Æt y = +

 y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). 3 2 2

 y = 14 - 3y 3  y +3y -14 = 0 3 …………  (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6) 2 2  …….. y = 2  x = 4 Thay x =4 vào biểu thức rút gọn của P ta được P = 4 c. P = = …. = +3 + - 6 x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số dương ta có P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6 x

P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4  +3 =  x = 4 x

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5®

0,75đ.

0,25đ.

0,25®

0,25®

0,25®

0,25® 0,25®

0,25®

0,5®

0,5®

0,5®

0,25®

Bài 2

(4đ

2) Giải pt a. x + 4x + 5 = 2 đk : 2x+ 3≥ 0  x ≥ 2 2x + 3

….. ( x +1) + ( - 1) = 0 ….. 2 2x + 3 2 Giải pt tìm được x = - 1 ( x= -1).

KL .

0,25® 0,25đ.

0,5đ. 0,25đ

ThuVienDeThi.com

3

b. x - x - x =  3x - 3x - 3x = 1 3 2 3 2

 4x = x + 3x + 3x + 1 3 3 2  4x = ( x + 1) 3 3  x = x + 1  x( - 1) = 1

3 4

3 4  x = =

2)Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình. x + y + 1 = xyz (*) Ta thấy x, y bình đẳng nên giả sử x ≥ y ta có

 x = y ta có (*)  2x + 1 = x z 2  x(xz - 2) = 1 x = 1 và z = 3

 x > y Ta có (*)  2x +1 > xyz  2x ≥ xyz  2≥ yz ( vì x ≠0) y = 1 ; z = 2  x = 2 hoặc y =2 ; z =1  x =3 nghiệm của pt là (x ;y ;z) = ( 1 ;1 ;3) ; ( 2 ;1 ;2) ;(1 ;2 ;2) ; (3 ;2 ;1) ;(2 ;3 ;1)

0,25® 0,25® 0,25®

0,25đ.

0,25® 0,25đ.

0,5đ

0,5®

0,5® Bài 3 (2đ)

a. 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 0 2 2 2  4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + 9 + z - 10z +25 2 2 2 2 2 = 0

( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0 2 2 2 2x-y-z =0 x =4 y- 3 =0  y = 3 z- 5= 0 z =5 Vậy ( 4- 4) + ( 3 - 4) + ( 5 - 4) = 0 2015 2015 2015 b. Do x + y+ z = 1 nên B = ( x + y + z) .B = ( x + y + z) ( + + )

= 1 + 4+ 9 + ( + ) + ( + ) + ( + )

1đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ

0,5®

Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta được + ≥ 4 ; + ≥ 12 ; + ≥ 6

 B ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 = 36

0,25®.

0,25®.

Min B = 36  y = 4x y = 2x x = 2 2

4z = 9y  z = 3x  y = 2 2

z = 9x x + y + z = 1 z = 2 2

x + y + z = 1 : 0,5®

ThuVienDeThi.com