Đề thi chọn học sinh giỏi khối 9 năm học 2015 2016 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT

TƯ NGHĨA

ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Kính gửi: Ban biên tập Tạp chí Toán tuổi thơ Tên : Trương Quang An

Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

Câu 1:

a/ Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 2x 3  b/ Giả sử a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2016. Chứng minh rằng A = có giá trị là số hữu tỉ.     2 2 2 2016 a 2016 b 2016 c   

Câu 2:

a/ Cho a, b là các số tự nhiên. Chứng minh rằng 5a2 + 15ab – b2 chia hết cho 49 khi và chỉ khi 3a + b chia hết cho 7.

b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 4y 2 199 2x x     Câu 3:

a/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)  b/ Cho sáu số dương a, b, c, x, y , z thỏa mãn ax + by + cz = xyz. Chứng minh rằng x + y + z > a b b c c a      Câu 4: Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r (R > r). Gọi M, A là hai điểm trên đường tròn (O; r) với M cố định và A di động. Qua M vẽ dây BC của đường tròn (O; R) vuông góc với AM. Gọi H là hình chiếu của O trên BC. Chứng minh rằng :

a/ AM = 2OH b/ Tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. c/ Trọng tâm G của tam giác ABC cố định. Câu 5:

a/ Cho tứ giác ABCD có độ dài đường chéo AC = 8cm, BD = 6cm. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cạnh của tứ giác có độ dài không nhỏ hơn 5cm.

b/ Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2 = c(a + b) + ab. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT

TƯ NGHĨA

ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI HGS LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn: Toán

Câu Phần Nội dung trình bày Điểm

a

Điều kiện: x ≥ - 2

3

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(x2 + 2x + 1) + (2x + 3 - 2 + 1) = 0 2x 3 

 (x + 1)2 + ( - 1)2 = 0 (1) 2x 3 

Vì (x + 1)2 ≥ 0 và ( - 1)2 ≥ 0 nên từ (1) suy ra 2x 3 

  

 

     

  

   

 

  

 

1 x

1 x

0 1 3 x 2

0 1 x

0 )1 3 x 2 (

0 )1 x (

2

2

 x = -1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

0,25 0,25

0,25

0,25 1 2đ

b

Vì ab + bc + ca = 2016 nên

A = ) c ca bc ab )( b ca bc ab )( a ca bc ab ( 2 2 2         

= 2 2 2 ) a c( )c b ( ) b a(   

= ) a c )( c b )( b a(   

Do a, b, c là các số hữu tỉ nên có giá trị là số hữu tỉ. ) a c )( c b )( b a(   

Vậy A có giá trị là số hữu tỉ.

0,25

0,25 0,25

0,25

a

Nếu 5a2 + 15ab – b2 49 thì 5a2 + 15ab – b2 7    30a2 + 90ab – 6b2 7   9a2 + 6ab + b2 7  (3a + b)2 7  3a + b 7 (1)    Nếu 3a + b 7  3a + b = 7c (c  Z)  b = 7c - 3a   5a2 + 15ab – b2 = 5a2 + 15a(7c - 3a) – (7c - 3a)2 = 5a2 + 105ac – 45a2 - 49c2 + 42ac - 9a2

= -49(a2 - 3ac + c2) 49 (2)  Từ (1) và (2) suy ra: 5a2 + 15ab – b2 49  3a + b 7  

0,25 0,25

0,25

0,25 2 2đ

b

Điều kiện: -201 ≤ x ≤ 199

Ta có: 16 200 2 )1 x ( 200 2 x x 2 199 2 y 4 2 2 2           

 y2 ≤ 4  y ≤ 2  -2 ≤ y ≤ 2

Với y = ±1  4 x x 2 199 2 2    

  x = 13; x = -15 0 195 x 2 x 2   

Với y = ±2  16 x x 2 199 2 2    

  x = 1; x = -3 0 3 x 2 x 2   

0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com