Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường THCS nghĩa thắng năm học 2013 - 2014 môn Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Số báo danh

........................

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG

Năm học 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 1/11/2015 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức . xy x xy x x 1 x 1 A 1 : 1 xy 1 1 xy xy 1 xy 1

                         1. Rút gọn biểu thức A. 2. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của A. 1 1 6 x y  

Câu II (5,0 điểm).

1.Cho phương trình . Tìm để phương trình   0 4 2 2 2 2 2       m m x m x m

có hai nghiệm thực phân biệt , thỏa mãn . 1x 2x m x x x x 15

1 1 2

2 1 2 2 2 1

  

2. Giải hệ phương trình .

  

  

  

xyz z y x

z y x

2015

1

4 4 4

Câu III (4,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1). 2. Tìm thỏa mãn . N z y x  , , z y x    3 2

Câu IV (6,0 điểm) : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định

thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc

với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M

khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi

F là giao điểm của AM và CD.

1. Chứng minh tam giác EMF là tam giác cân.

2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng.

3. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD. Câu V (1,0 điểm) : Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 3 3 1 1 B xy x y   

----- HẾT --- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

Câu Ý Lời giải (vắn tắt) Điể m Điều kiện: . xy 1  0,25          

x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy A : xy 1 1 xy

        

           

xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

xy 1 1 xy

           0,50              

x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy

xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

                  0,50

1 (2,5đ )

. 1 x 1 x y xy xy     1,25

Theo Côsi, ta có: . 1 1 1 1 6 2 9 x y xy xy     

0,50

Dấu bằng xảy ra   x = y = . 1 1 x y  1 9 0,50

I (4,0đ )

2 (1,5đ )

Vậy: maxA = 9, đạt được khi : x = y = . 1 9 0,50 PT đã cho có hai nghiệm phân biệt có điều kiện:

(*) 0 '     0 0 4 2 2 2 2         m m m m 0,50

Với theo Vi-et ta có: . 0  m

  

  

  

4 2 .

2 4

2 2 1

2 1

m m x x

m x x

0,25

Ta có (1)   m x x x x x x m x x x x 15

1 1 2 2 15

1 1 2

2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1

        0,50

m m m m m 15

1

4 2

1

4 6

1

2 2       

0,50

1 (2,5đ )

. Đặt do 15

1

2 4 1

6 4 1       

m m m m

t m m  4 0  m

0  t

0,50

Ta cos (1) trở thành ( do ) 4 12

4

15

1 2 1 6 1    





       t t t

t t 0  t 0,50

II (5,0đ )

Với ta có thỏa mãn (*) 4   t 2 4 4       m m m

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TƯ NGHĨA

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS NGHĨA THẮNG

Năm học 2013 - 2014

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 1/11/2015 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

ThuVienDeThi.com