Đề thi vòng II, chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn Toán

PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU

ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút) ------------------------------------------------ Bài 1 (4 điểm). Tính giá trị các biểu thức:

3 6 2 3 4 2 44 16 6 . A   

3 6

4

2 3 7 4 3

9 4 5 2 5

.

.

x B x

x

    

  

Bài 2 (4 điểm).

a, Chứng minh rằng:  

8

6 3 3 3 2 2 3 2 2 3    

b, Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 12. 1 1 1 a b c b c a      

Bài 3 (4 điểm). Giải các phương trình:

a, 1 1 2 2 4 x x x     

b, = 0 ( 1)( 2) 3 2 ( 1)( 3) x x x x x x         

Bài 4 (6 điểm).

1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB và dây cung CD không là đường kính. Gọi M

là giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D; N là giao điểm các đường thẳng

AC và BD. Đường thẳng qua N vuông góc với NO cắt AD, BC lần lượt tại E, F.

Chứng minh:

a. MN vuông góc với AB.

b. NE = NF.

2, Cho ∆ABC vuông ở A. Biết: BC = và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác 4 4 3 

ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của tam giác ABC.

Bài 5 (2 điểm). Với số thực a, ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt

quá a và kí hiệu là .  a

Cho dãy số: x , x , x , x ,…,x ,…(n N) được sác định bởi công thức: 0 1 2 3 n 

với mọi giá trị của n. Hỏi trong 2015 số {x , x1, x2,…, x } có bao 1

2 2 n

n n x               

0 2014

nhiêu số khác 0 ?

-----------------Hết-------------

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG II – NĂM HỌC 2015-2016

Bài Câu Hướng dẫn giải Điểm

A= 2 3 6 2 3 4 2. (2 3 4 2)   0,5

= 3 3 2 3 4 2. 2 3 4 2   0,5

= 3 (2 3 4 2)(2 3 4 2)   0,5

= = - 3 12 32  3 20 0,5

B=

2 3 6

2 4

2 3. (2 3) x x

(2 5) . 2 5 x

   

  

0,5

=

3 3 2 3. 2 3 x x

5 2. 2 5 x

   

  

0,5

= 1 x x

1 x  



0,5

1

= = 1 x (1 x)   0,5

Đặt: a = x + y , với x = y = . 3 3 2 2 , 

3 3 2 2 

Dễ thấy: x3 + y3 = 6 và x.y = 1

0,5

  3 3 3

3 3

3 ( ) 6 3

3(1 1 ) 3.3 1.1.

      

   

a x y xy x y a

a a a

(Vì: x > 1, y > 0 nên: a > 1).

0,5

Do đó:

9 2 3 8 6 (3 ) . 3 . a a a    0,5

a

Vậy :  

8

6 3 3 3 2 2 3 2 2 3    

0,5

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 3 số dương: , , ta a b 1 

b c 1 

c a 1 

có: 3 3 . . . 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a b c a         

0,5

Mạt khác, từ: a - 4 + 4 0 4, a   a a 1 



tương tự: 4 và 4 b b 1 

 c c 1 



0,5



3 3 3 . . 3 4.4.4 12. 1 1 1 a b c b c a

    

0,5

2

b

Vậy: 12. 1 1 1 a b c b c a      

0,5

ThuVienDeThi.com

Đặt: = t, (t 0) x + = t + 1 x 4    1 2

2 1 4

0,5

= = t + , (vì t 0)  1 1 x x 2 4    2 1 (t ) 2  1 2 

0,5

Vậy phương trình đã cho trở thành:

t + t + = 2 (t + ) = 2 t + = , (vì t 0) 2 1 4  1 2

2  1 2 2 

0,5

a

= t = - , giải ra ta được: x = 2 -  1 x 4  2 1 2 2 0,5

Ta có: VT =( ( ) x 1 1)  x 2 x 3    0,5

PT trở thành:( ( ) = 0, vì: 0 x 1 1)  x 2 x 3    x 2 x 3     0,5

= 0 x = 2  x 1 1   0,5

3

b

Vậy nghiệm phương trình là: x = 2 0,5

Gọi P là giao điểm của AD và BC N là trực tâm PAB PN    

AB.

0,5

Gọi giao điểm tiếp tuyến của (O) tại D với PN là M’.

Do: = = APDM' AABD APDM' ADPM'

0,5

 PM’D cân tại M’ PM’ = DM’ M’ là trung điểm PN.    0,5

1.a

Tương tự tiếp tuyến tại C của (O) cắt PN tại trung điểm M” của PN

M’, M” trùng M Đpcm.  

0,5

Trên tia đối của tia NB lấy điểm Q sao cho NQ = NB.

QA // NO QA  NE  

0,5

A là trực tâm của QNE NA  QE ( tại H)   0,5

FB // EQ mà N là trung điểm của BQ  0,5

4

1.b

N cũng là trung điểm của EF NE = NF (Đpcm).   0,5

Q

A B

C D

F

P

M

E

H

N

O

ThuVienDeThi.com