Đề thi vòng I, chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU

ĐỀ THI VÒNG I, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán – ( Thời gian làm bài 150 phút)

--------------------------------------------- Câu 1. (4 điểm)

a. Rút gọn biểu thức sau: M = .

2

1

2 3 n n a a a a 

  

 

2 2

2 2 2 3 4 4 a a a a a

            

b. Tính A = với x = . 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x       

3 4 Câu 2. (4 điểm)

a. Phân tích đa thức thành nhân tử:  

3 3 3 3 x y z x y z     

b. Chứng minh chia hết cho 24,         3 3 3 3 a b c a b c b c a c a b           với a, b, c Z.  Câu 3. (4 điểm)

a. Với . Chứng minh bất đẳng thức: 0, 0 x y      

2

2 2 x y x y xy   

b. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn   2 5 2 0 x y x y      Câu 4. (2 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3xy + 3yz + 3zx – xyz trong đó x, y, z là ba số dương thỏa mãn . 3 3 3 3 x y z    Câu 5. (6 điểm) 1. Cho tam giác ABC có = 20 và = 110 và đường phân giác BE. :CBA 0 :ACB 0

Từ C kẻ CK vuông góc với EB cắt AB tại K và cắt BE tại M. Trên đoạn EB lấy điểm F sao cho EF = EA. Chứng minh rằng:

a) AF vuông góc với EK. b) CF = AK và CF là tia phân giác của góc KCB

c) AF

CK BC

BA 

2. Cho hình thoi ABCD, 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường trung trực của AB cắt BD, AC lần lượt tại M, N. Biết MB = a, NA = b. Tính diện tích hình thoi theo a, b.

---------------------------- Hết ------------------------

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN VÒNG I – NĂM HỌC 2015-2016

Câu Hướng dẫn giải Biểu điểm

a) Rút gọn biểu thức M: = .

2

1

2 3 n n a a a a 

  

 

2 2

2 2 2 3 4 4 a a a a a

             Biểu thức có nghĩa khi 0;1; 1;3 a   0,25

Ta có M =     

      

2 1 4 1 3 . 3 4 1 1 1 n a a a a a a a a a

             

0,5

=       

2 1 1 3 . 3 1 1 n a a a a a a a

           

0,5

= =       

2 1 3 . 3 1 n a a a a a a a      1

2

n a

a 

 0,75

b) Ta có 1 – 2x = 1 - = = = 2 3

4   1 4 2 3 4    1 3 2 3 1 4    

2 1 3 1 4  0,75

Tương tự: 1 + 2x =  

2 1 3 1 4  0,25

Từ đó: A = =    

2 2 3 1 3 1

3 1 3 1 4 1 4 1 2 2

                  

   

   

2 2 3 1 3 1

2 3 3 2 3 3

     0,5

1

= =    

   

2 2 3 1 3 1

2 3 3 1 2 3 3 1

    

3 1 3 1 1 2 3 2 3     0,5

a)         3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 6 x y z x y z x y z y z x z x y xyz             0,5

Do đó =  

3 3 3 3 x y z x y z        2 2 2 2 2 2 3 2 x y x z y x y z z x z y xyz       0,5

=      2 2 2 2 2 2 3 xyz y z z x z y x y y x x z xyz            0,25

=         2 3 yz x y z x y xy x y xz x y            0,25

=  

2 3 x y yz z xy xz         0,25

=      3 x y z z y x z y         0,25

=     3 x y z y z x    0,25 b) Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z 0,25 Ta có: x + y + z = a + b – c + b + c – a + c + a – b = a + b + c 0,25 x + y = 2b; x + z = 2a; y + z = 2c 0,25 Theo câu a:         3 3 3 3 a b c a b c b c a c a b           0,25

=  

3 3 3 3 x y z x y z      0,25

2

= = 24abc 24     3 3.2 .2 .2 x y y z z x a b c      0,5

a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số không âm với a b  2 ab  0, 0 a b  

Bằng cách triển khai  

2

2 x y x y xy     0,5

Do cho ta áp dụng: 0, 0 0 x y x y      0,25

3

    2 2 2 x y xy x y xy     0,5

ThuVienDeThi.com