Kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2012 - 2013 môn thi Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

Đề chính thức

Số báo danh

.....................................

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 28/11/2012 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu).

Câu 1: (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức: . 3

3 2

1

2 3

3 2

11 15



  

   

 

x

x

x

x

x x

x P

a) Rút gọn biểu thức . P b) Tìm m để có x thỏa mãn .  m x P  3

2. Cho hàm số: . Tìm với  

2012 3 7 6    x x x f  a f . 17 3 17 3 3 3     a

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:   .9 5 9 5 2 2      x x x x 2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: . 2 1 2 2 2 2 xy y x y x xy      

Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên. 2012  x 2012 13  x 2. Cho ba số thực thoả mãn . Chứng minh rằng: z y x , , 1  xyz

Nếu thì trong ba số có duy nhất một số lớn hơn 1. z y x z y x 1 1 1      z y x , ,

Câu 4: (6,0 điểm)

1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC.

a) Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2. b) Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và AB tương ứng tại các điểm M và N. Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ luôn đi qua D.

2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1.

Chứng minh rằng SABC (SABC là diện tích tam giác ABC). 3

1 

Câu 5: (2,0 điểm)

Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

3 3

3

3 3

3 4 8 y x y

y y x

x Q

    

---------------- Hết --------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRIỆU SƠN

Hướng dẫn chấm

Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

Năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán 9

Lớp: 9 THCS Ngày thi: 28/11/2012 (Đáp án có 04 trang, gồm 05 câu).

Câu Nội dung đáp án Điểm 1. a) ĐKXĐ: x  0; x 1.

Ta có: P =

3

3 2

1

2 3

3 2

11 15



  

   



x

x

x

x

x x

x =    3

3 2

1

2 3

3 1

11 15



  

   



x

x

x

x

x x

x

=         3 1

1 3 2 3 2 3 11 15

 

      

x x

x x x x x

=       3 1

2 7 5

3 1

3 2 6 7 3 11 15

 

     

      

x x

x x

x x

x x x x x

=       3

5 2

3 1

5 2 1



   

 

x

x

x x

x x .

b) Với x  0; x 1 ta có 3

5 2



 

x

x P

 m x  5 2     m x P  3 m x  2 5 5 2 m x   2  m

Lại có: x 1   1 5 2  m 3   m

Vậy 3 ;2    m m

0,5

0,75

0,75

0,5

0,25

0,25

1 (4,0đ)

2. Ta có:  3 3 17 3 17 3     a          3 3 3 17 3 17 3 6 6 a

 0 6 6 3   a a Từ đó: .     1 1 6 6 7 6

2012 3 2012 3         a a a a a f

0,5

0,5

1. Đặt (với ) y x  9 2 3  y

Khi đó, ta có:  y x x y 5 5 2       



       x y y x y y 5 0 5

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: .4   x

0,5

1,25

0,75

2 (4,0đ) 2. Ta có: xy y x y x xy       2 2 2 2 1 2 (1)       0 1 1 1 1 2 2         x y x x x y Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được:

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com