Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9 (Phần Đại số mở rộng)

ĐẠI SỐ MỞ RỘNG

A- ĐỘC ĐÁO VỀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

1) Tìm a,b,c để phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x = 1 2 

Giải X = => ( x + 1 )2 = 2 1 2  => x2 + 2x - 1 = 0. Đồng nhất với phương trình đã cho => a = 1, b = 2, c = -1

2) Tìm a,b để phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm là x = . 5 7

5 7





Giải

Trục căn thức ta được x = 6 - 35 Biến đổi như bài 1, ta tìm được a = -12 và b = 1.

3) CMR x = là nghiệm của phương trình x4 - 10x2 + 1 = 0. 3 2 

Giải X = => x2 = 5 - 2 3 2  6 => (5 - x2)2 = (2 )2 6 => x4 - 10x2 + 1 = 0. => ĐPCM.

4) CMR x = là nghiệm của phương trình 3 2 2 

X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0

Giải x = => (x - )3 = ( )3 3 2 2  2 3 2 => x3 -3 x2 + 6x - 2 = 2 2 2 => (x3 + 6x - 2)2 = [ (3x2 + 2) ]2 2 => X6 - 6x4 -4x3 + 12x2 - 24x - 12 = 0 => ĐPCM

* chú ý (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Em bảo anh đi đi- Sao anh không đứng lại! Em bảo anh đừng đợi - Sao anh buồn, đi ngay!

- Hãy cố gắng trở thành người có giá trị ( Anhxtanh)

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ MỞ RỘNG

5) CMR x = là nghiệm phương trình 2x2 - 2x - 1 = 0. 2

3 1

Giải

Biến đổi x = . 2

1 3 4

3 2 4   

Tiếp tục như các bài trên => ĐPCM

6) Tìm a,b,c,d để phương trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 có nghiệm là X = 1 + + 2 3

Giải

X = 1 + + => ( x - 1 )2 = ( + )2 2 3 2 3 => x2 -2x + 1 = 5 + 2 6 => ( x2 - 2x - 4)2 = ( 2 )2 6 => x4 - 4x3 - 4x2 + 16x - 8 = 0. Đồng nhất hệ số => a = b = -4, c = 16 và d = - 8.

7) CMR x = - là nghiệm của phương trình 3 2 2   3 2 3 6   X4 - 16x2 + 32 = 0.

Giải Gt => x2 = 8 - 2 - 2 3 2  ) 3 2 ( 3 

=> = 2

8 2  x ) 3 2 ( 3 3 2   

=> ( )2 = ( )2 = ….= 8 2

8 2  x ) 3 2 ( 3 3 2   

=> X4 - 16x2 + 32 = 0 = ĐPCM

Em bảo anh chia tay - Sao anh không bối rối! Em giận anh, em dỗi!- Sao anh không làm lành!

- Đường là do đi lại nhiều mà thành. ( Lỗ Tấn)

ThuVienDeThi.com

ĐẠI SỐ MỞ RỘNG 8) Tìm a,b, c để phương trình ax4 + bx2 + c = 0 có nghiệm là

x = 5 2 10 2 8 5 2 10 2 8     

Giải Tương tự các bài trên , tính được a = 1, b = -24 và c = 104

9) CMR x = là nghiệm phương trình x9 - 3x6 + 3x3 - 3 = 0. 3 3 1 2 

10) CMR x = là nghiệm của phương trình 5 3 2   X4 - 4 x3 + 20x2 - 24 = 0. 5

11) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = - 1 là nghiệm của phương trình 2

X3 + ax2 + bx + 1 = 0. Giải Ta không áp dụng được chiến thuật "bình phương làm mất căn" như các bài trước được vì làm như vậy bậc cao nhất của x luôn chẵn trong khi phương trình bậc lẻ! Thay giá trị đã cho của x vào phương trình ta có: ( - 1)3 + a( - 1 )2 + b( - 1) + 1 = 0. 2 2 2

Biến đổi => ( 5 - 2a + b) + 3a - b - 6 = 0. 2

Vì a,b là số hữa tỉ và là số vô tỉ nên xảy ra đồng thời 5 - 2a + b = 0 2 và 3a - b - 6 = 0.

Từ đó tìm được a = 1, b = -3

12) Tìm các số hữa tỉ a,b để x = 2 + là nghiệm của phương trình 5 X3 + ax2 + bx + 1 = 0. ( Tương tự ta được a = - 5, b = 3)

Sao anh ngốc thế anh- Em ghét anh quá thể! Sao mà anh ngốc thế - Không nhìn vào mắt em!!

(Định Hải)

- Điều kì diệu của một cây ăn quả, nằm lặng lẽ trong một hạt giống. ( Ching – Nin – Chu)

ThuVienDeThi.com