Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 vòng II năm học 2012 2013

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 VÒNG II

NĂM HỌC 2012 – 2013 (Thời gian làm bài 150 phút) .................................................................. Bài 1:(5 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức Q = 1

2 2

5

5 6



  

a

a a a

Biết và z x y x

a

  

5

2 25 16 ( ) ( )(2 ) x z z y x y z     

b) Cho các số nguyên a, b, c 0 thoả mãn:  1 1 1 1 a b c abc   

Chứng minh rằng: là số chính phương     2 2 2 1 a 1 b 1 c   

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23        

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) 2

Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a c, b c. Chứng minh rằng       c a c c b c ab    

b) Giả sử f(x) là một đa thức bậc 4 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng: Nếu f(x) với thì từng hệ số của f(x) cũng 7    x 7  Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

a) Tính tổng ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA  

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức

2

2 2 2 ( ) ( ') ( ') ( ') AB BC CA AA BB CC     đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông.

.........................Hết...................... ( Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.)

Họ và tên thi sinh..........................................................Số báo danh.......................

ThuVienDeThi.com

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN 9

NĂM HỌC 2012 - 2013

Bài Nội dung Điểm a

3,0đ

Ta có z y x

a y z

a z x y x

a

 

        2

5 5 5

Suy ra = = 2) (

25

z x  ) 2 )( (

) 5 )( 5 (

z y x y z

a a

  

 

= = ) 2 )( (

25

2

z y x y z

a

  



) 2 )( (

16

z y x y z    Suy ra 25 – a2 = 16  a2 = 9  a= 3

Mặt khác Q = = = 1

2 2

5

5 6



  

a

a a a

1

) 2 ( ) 2 (

5

5



  

a

a a a

= = a – 2, với a  - 1 1

)1 )( 2 (

5

5



 

a

a a

Với a = 3 thì P = 1 với a = - 3 thì P = - 5

0,5

0,75

0,5

0,75

0,5

1

5,0đ

b

2,0đ

Ta có: 1 1 1 1 ab bc ca 1 a b c abc       

2 2 1 a ab bc ca a a(a b) c(a b) (a b)(a c)            

2 2 1 b ab bc ca b b(a b) c(a b) (a b)(b c)            

2 2 1 c ab bc ca c b(a c) c(a c) (a c)(b c)            

 2 2 2 2 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 c ) (a b) (b c) (a c) (a b)(b c)(c a)            

Vì a, b, c là các số nguyên (a b)(b c)(c a) Z     

là số chính phương 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 c )    

0,5

0,5 0,5

0,5

2

4,0đ

a

2,0đ

Ta có: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23        

x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23            

x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23         

 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23             x 258   Vậy phương trình có nghiệm x = 258

0,5

0,5

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com