Đề thi chọn HSG lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013-2014 môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Cho biểu thức: 2 16 4 2 1 6 8 2 4 a a a M

a a a a           . Tìm tất cả các giá trị nguyên của a

để giá trị của M là một số nguyên.

b) Cho đa thức 2 ( ) P x ax bx c    thỏa mãn đồng thời các điều kiện ( ) 0 P x  với mọi số

thực x và b a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c Q b a     .

Câu 2 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:

1

1 2 x x x m x m      

Câu 3 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng số

7 5 1954 1 p  chia

hết cho 60.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn ( ) O có tâm là O và bán kính bằng R . Hai điểm phân

biệt , B C cố định nằm trên ( ) O sao cho 2 BC a R   . Gọi A là điểm bất kì thuộc cung

lớn  BC của ( ) O , A không trùng với , B C . Gọi Dlà chân đường phân giác trong kẻ từ A

của tam giác ABC . Hai điểm , E F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

ADB và ADC .

a) Chứng minh rằng hai tam giác AEO và ADC đồng dạng.

b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo a và R .

c) Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Câu 5 (1,0 điểm). Trên một đường tròn cho 21 điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô

bởi một trong 4 màu: xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một

đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại

một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh

cũng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen).

----------- Hết -----------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……………….

ThuVienDeThi.com

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1

a) 2,5 Cho biểu thức: 2 16 4 2 1 6 8 2 4 a a a M

a a a a           . Tìm tất cả các giá trị

nguyên của a để M là một số nguyên.

ĐKXĐ: 0 4, 16 a a a     

2 16 4 2 1 6 8 2 4 a a a M

a a a a          

2 16 ( 4)( 4) (2 1)( 2) 6 8 a a a a a a a        

 

2 1 ( 2)( 4) 4 a a a a a a        

Từ 1 5 1 4 4 a M

a a      .

Do M là số nguyên nên 5 ( 4) 4 { 1; 5} a a      .

TH1. 4 1 25 a a    TH2. 4 1 9 a a   

TH3. 4 5 81 a a     TH4. 4 5 1 a a    (loại) Đối chiếu điều kiện đã đặt, ta suy ra các giá trị cần tìm của a là: 9; 25; 81.

b) 0,5

Cho đa thức 2 ( ) P x ax bx c    thỏa mãn đồng thời các điều kiện

( ) 0 P x với mọi số thực x và b a . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a b c Q b a     .

- Từ ( ) 0, P x x   ta chứng minh được 2 0

4 0

a

b ac

     

.

- Do đó:

2 2 2 2 4 4 4 4 4 ( ) b b a b c a ab b c a b c a b a a b a a b a               

- Lại có:

2 2 2 2 2 4 4 16 8 12 ( ) (4 ) 3 3 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) a ab b a ab b a b a a b a b a a b a a b a              

Vậy min 3 4 0 Q b c a     

ThuVienDeThi.com