Đề thi HSG lớp 9 Quận Tân Phú - Vòng 2 (2015-2016) môn Toán

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016

Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16)

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz        

Bài 2: Giải phương trình:

a)    2 2 x 9 9x 1 20x 1    

b) 2x 4 9x 1 x   

Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 1 9 P a b a b    

Bài 4: Cho ABC  cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC  . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C của (O), vẽ AH vuông góc với Cx tại H. Chứng minh: D,E, H thẳng hàng.

Bài 5: Cho ABC  có 0 ABC 30  . Về phía ngoài ABC  dựng ACD  đều. Chứng minh:

2 2 2 AB BC BD   . Bài 6: Cho 2 hình chữ nhật có kích thước 1 × 15 và 2 × 20 như hình vẻ tạo thành 1 góc 0 30 . Đặt hai cây thước lên mặt bàn. Tính diện tích phần mặt bàn bị che khuất.

 HẾT 

ĐỀ THI HSG LỚP 9 –

QUẬN TÂN PHÚ - Vòng 2 (2015-2016)

ThuVienDeThi.com

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016

Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16)

Bài 1: Cho xyz =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x xy 1 y yz 1 z xz        

Do xyz =1 nên ta có :

  1 1 1 yz 1 y 1 x xy 1 y yz 1 z xz yz xyz y xyz 1 y yz y zy xyz

yz 1 y = yz 1 y 1 y yz y zy 1 =1

                

      

Bài 2: Giải phương trình:

a)    2 2 x 9 9x 1 20x 1    

     x 3 x 3 3x 1 3x 1 20x 1           2 2 3x 10x 3 3x 10x 3 20x 1       

 

2 2 2 3x 3 100x 20x 1            

2 2 2 2 2 3x 3 10x 1 0 3x 10x 4 3x 10x 2 0           

2 2 5 13 5 19 x x 0 3 9 3 9

                             

5 13 x 3 3 5 19 x 3 3



    

  

Vaäy 5 13 5 19 S ; 3 3 3 3

            

b) 2x 4 9x 1 x   

    

                           

2

2

4 9x 4 0 x 2x 2x 9 4 9x 9x 4 2x 1 x 1 x 9x 4 2x 81x 72x 16 1 x 1 x

Hướng Dẫn Giải: ĐỀ THI HSG LỚP 9 –

QUẬN TÂN PHUÙ vòng 2 (2015-2016)

ThuVienDeThi.com

Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Thăng Tiến Thăng Long 2015 -2016

Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận Tân Phú, VÒNG 2 (15-16)

     

  

                                                

2 2

4 x 9

8 8 4 4 x x x x 9 9 9 9

1 2 x 81x 72x 16 1 x 2x 9x 8 9x 9x 2 0 x 3 3 2 x 3

Vậy      

8 2 S ; 9 3

Bài 3: Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện: a b 1  . Tìm GTNN của biểu thức: 1 9 P a b a b    

Ta có:

                           

2 2 2 b a b 9a a b 1 9 16 16ab ab b 9a 9ab 16ab b 3a 0 a b a b ab a b ab a b

(bđt đúng)

Do đó:                         1 9 16 1 9 16 16 a b a b P 16 a b 15 a b a b a b a b a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

                   16 16 16 16 a b 2 16 a b 6 a b 32 1 a b a b a b

Ta có:        a b 1 15 a b 15 2

Từ (1) và (2), cộng vế theo vế, ta có:  P 17 .

Vậy  min P 17. Dấu “=” xảy ra khi  1 a b 2

Bài 4: Cho ABC  cân tại A nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của ABC  . Vẽ Cx tiếp tuyến tại C của (O), vẽ AH vuông góc với Cx tại H. Chứng minh: D, E, H thẳng hàng.

x

H O E D

B C

A

Ta có:  

 

  

 

AEH ACH tö ù giaùc AECH noäi tieáp

ACH ABC góc tại bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp khi cùng chắn AC

       AEH ABC mà ABC ACB ABCcân tai A nên AEH ACB

ThuVienDeThi.com