Đề thi HSG lớp 9 vòng 2, quận Tân Phú (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15)

(NGÀY THI: 29/11/2014) Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b+ c = 0. Hãy chứng minh:

              

4 4 4

2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b

Bài 2: Giải phương trình:

          2 x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8

Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh:        2 a b a b 2a b 2b a 2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của  

 2 2x 1 A

x 2

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trên tia đối của tia DC lấy P, PM cắt AC tại Q. Chứng minh: MP.NQ = MQ.NP Bài 6: Tìm cặp số nguyên sao cho tích của nó bằng 7 lần tổng.

  HẾT  

ĐỀ THI HSG LỚP 9 VÒNG 2, QUẬN TÂN PHÚ

(2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15)

Bài 1: Cho a, b, c khác 0 và a + b + c = 0. Hãy chứng minh:

              

4 4 4

2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b

Ta có: a + b + c = 0                 3 3 3 3 3 a b c a b c a b 3ab a b c

              3 3 3 3 3 3 a b c 3ab a b a b c 3abc do a + b = c

Ta có: a + b + c = 0

                                       

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b 2ab c a b c 2ab a b c b c a b c 2bc a b c a 2bc c a b c a 2ca b c a b 2ca

Ta có :

              

4 4 4

2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c VT

a b c b c a c a b

                      

4 4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c =

a b c a b c b c a b c a c a b c a b

                

                          

4 4 4

2 2 2 3 3 3

a b c =

2ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca

1 a b c 1 a b c 1 3abc 3 VP 4 bc ca ab 4 abc 4 abc 4

Vậy

              

4 4 4

2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 a b c 3 4 a b c b c a c a b

Bài 2: Giải phương trình:

          2 x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8

Điều kiện:              

x 1 0 x 1 x 2 x 2 0 x 2

Ta có:           2 x 1 x 2 2x 2 x x 2 1 8

                x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 8

ĐỀ THI HSG LỚP 9 (Vòng 2) Quận TÂN PHÚ – (2014-2015)

HƯỚNG DẪN

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) – Quận TÂN PHÚ (14-15)

    

  

  

  

2 3

3

2

x 1 x 2 x 1 x 2 8 x 1 x 2 2

x 1 x 2 2

x 1 2 x 1 x 2 x 2 4

2 x 1 x 2 2x 5

2x 5 0

4 x 1 x 2 4x 20x 25

5 x 33 2 x (nhận so với điều kiện x 2) 16 33 x 16

            

    

      

    

                   

Vậy      

33 S 16

Bài 3: Cho a, b dương. Hãy chứng minh:        2 a b a b 2a b 2b a 2

Ta có:        2 a b a b 2a b 2b a 2

               

1 a b a b 2 ab a b 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:





                     

1 1 a 2 a a 1 1 1 4 4 a b a b a b a b 1 4 4 2 1 1 b 2 b b 4 4

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:    a b 2 ab 2

Từ (1) và (2), ta suy ra               

1 a b a b 2 ab a b 2

Vậy        2 a b a b 2a b 2b a 2

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của  

 2 2x 1 A

x 2

Ta có :                     

2 2 2

2 2 2 2 x 1 2x 1 2x 1 x 2 x 2x 1 A 1 1 0 A 1 x 2 x 2 x 2 x 2

Vậy     max A 1. Dấu ''='' xảy ra khi x 1 0 x 1

Ta có :      

   

                   

2 2 2

2 2 2 2 2 2x 1 x 2 x 2 1 2x 1 1 x 4x 4 1 A 0 A 2 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2

Vậy      min

1 A . Dấu ''='' xảy ra khi x 2 0 x 2 2

ThuVienDeThi.com