Đề thi HSG lớp 9 quận Tân Bình (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận TÂN BÌNH (14-15)

Thời gian: 120 phút (NGÀY THI: 11/10/2014)

Bài 1: (3 điểm) Rút gọn:

2 2 5 A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 5

              Baøi 2: Giải phương trình vaø heä phöông trình sau:

a)     3 3 5 3 5 0 5 x x x x x        (2 điểm)

b) 2 2 3x 6x 41 10 2x 7     (2 điểm)

c)

2

1 1 1 2 x y z 2 4 xy z

        

(2 điểm)

Bài 3: a) Cho a > 1 ; b > 1 ; c > 1. Chứng minh rằng : a b c 6 a 1 b 1 c 1      

(1 điểm)

b) Cho 1 x 2  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 M 2x 5x 2 2 x 3 2x       (2 điểm)

c) Tìm nghiệm nguyên tố của phương trình 2 2 x 2y 1   (1 điểm)

Bài 4: Cho ABC  nội tiếp (O) đường kính AB. Kẻ đường cao CH của ABC  . Vẽ (I) tiếp xúc với HC, HB tại E, D và tiếp xúc trong với (O) tại F.

a) Cho HA – HB = 5,6cm; 3 tanCAD 4  . Tính CA, CB. (2 điểm)

b) Chứng minh: A, E, F thẳng hàng và ACD  cân. (2 điểm)

Bài 5: Cho ABC  CÓ 0 CBA 60 ;BC a;AB c   . (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNHK có đỉnh M trên cạnh AC; N trên cạnh AC; H, K trên cạnh BC. Hình chữ nhật MNHK được gọi là hình chữ nhật nội tiếp ABC  . Tìm vị trí của M trên cạnh AB để diện tích hình chữ nhật MNHK đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo a và c. (3 điểm)

  HẾT  

ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN TÂN BÌNH – (2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận TÂN BÌNH (14-15)

Bài 1: Rút gọn:

2 2 5 A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 5

              

Đặt B 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ; B > 0      

 

 

 

 

2

2 2

2 2

B 16 2 64 4 10 2 5

B 16 2 24 8 5 16 2 2 5 2

B 16 4 5 4 12 4 5 10 2

B 10 2 vì B > 0

    

      

       

  

Khi đó:            2 2 5 5 2 2 2 5 A 10 2 2 5 1 2 5 1 6 2 5 2 5 5 2 5 2

            

     

2 2 5 1 5 1 2 5 1 5 1 4 2       

Baøi 2: Giải phương trình:

a)     3 3 5 3 5 0 5 x x x x x       

Điều kiện : 5 3 x hay x  

     3 3 5 3 5 0 5 x x x x x       

  



3 5 3 3 0 5

5

3 3 3 0 1 5

x x x x

x

x x x

                       

Giải (1):   3 3 3 0 5 x x điều kiện: x 3 x     

    2 3 3 9 3 3 3 9 3 3 0 5 5 5 x x x x x x x x x                           

HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HSG LỚP 9

QUẬN TÂN BÌNH (2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Học Sinh Giỏi Lớp 9 – Quận TÂN BÌNH (14-15)

 

   

2

3 3 4 2 24 0 6

x nhận x x loại x x nhận

                  

Vậy   3 6 S ; 

b) 2 2 3x 6x 41 10 2x 7    

2 2 3x 6x 41 10 2x 7    

2 2 2 2x 7 10 2x 7 25 x 6x 9 0            

2 2 2 2x 7 5 x 3 0      

2 2x 7 5 0 x 3 x 3 0

         

Vậy  S 3 

c)

2

1 1 1 5 x y z 2 20 5 xy z

         

Điều kiện: x 0;y 0;z 0   

2 2 2

2 2 2

1 1 1 10 10 2 1 1 1 1 1 1 25 5 5 x y xy x y z z x y z x y 2 1 1 2 1 2 20 5 25 25 xy xy xy z z z

                                        

2 2 2 2 2 1 1 10 10 2 1 10 1 10 25 25 25 25 0 xy x y xy x y x y x y 1 1 1 1 1 1 5 5 z x y z x y

                                           

2 2 1 1 x 5 1 1 5 x 5 5 0 1 1 x y 5 y y 5 1 1 1 5 1 1 z x y z 5 5 5 5 z

                                                     

Vậy nghiệm của hệ pt là

1 x 5 1 y 5 1 z 5

        

Bài 3: a) Cho a > 1 ; b > 1 ; c > 1. Chứng minh rằng : a b c 6 a 1 b 1 c 1      

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

  1 a 1 a a 1 a 1 a 1 2 2 2 a 1         

Chứng minh tương tự, ta có: b 2; 2 b 1 c 1    

Do đó: a b c 6 a 1 b 1 c 1      

. Dấu ‘’=’’ xảy ra khi

a 1 1 b 1 1 a b c 2 c 1 1

 …