Đề thi HSG lớp 9 Quận 3 (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Thời gian: 150 phút (NGÀY THI: 05/10/2014)

Bài 1:

a) Chứng minh       2 a a 1 a 1 a 1

Áp dụng câu trên để so sánh A và B.

1 A 2013 2011 2009 2007 ... 3 1 2       

      B 2012 2010 2008 ... 4 2

b) Tính    

2 2 2 2013 2013 C 1 2013 2014 2014 Baøi 2: Giải phương trình vaø heä phương trình

a) 2 2 15 3 2 10      x x x x

b)

2 2 2 x x 4 8 x 4    

c)

2 2

2

2xy x y 1 x y

x y x y

           

Bài 3: Cho x, y > 0 và x + y =1. Chứng minh rằng :   4 4 1 8 x y 5 xy   

Bài 4: Cho x, y > 0 và   x y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của     2 2 1 A 2xy xy x y

Bài 5: Cho      4 3 2 A x x 14x 71x 154x 120

a) Phân tích A(x) ra nhân tử. b) Chứng minh A(x) chia hết cho 24 với mọi x nguyên. Bài 6: Cho ABC  nhọn (AB < AC) đường cao AD. Gọi M, N theo thứ tự là điểm đối xứng của D qua AB, AC. Đoạn thẳng MD cắt AB tại E, ND cắt AC tại F, MN cắt AB, AC lần lượt tại I, K.

a) Chứng minh: AEF ABC   ∽ b) Chứng minh: 2 2 AEF ABC S S .sin B.sin C 

c) Chứng minh: B, C, K, I cùng thuộc 1 đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.

d) Biết 0 ABC 60  ; 0 ACB 40  . Tính AOB

  HẾT  

ĐỀ THI HSG LỚP 9 QUẬN 3 – (2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Bài 1:

a) Chứng minh       2 a a 1 a 1 a 1

Áp dụng câu trên để so sánh A và B.

1 A 2013 2011 2009 2007 ... 3 1 2       

      B 2012 2010 2008 ... 4 2

Ta có:                 2 a a 1 a 1 4a a 1 2 a 1 a 1 a 1

     2 2 2 4a 2a 2 a 1 a 1 a a 1 a a 1 bất đẳng thức đúng          

Áp dụng câu trên, ta có:

2013 2012

2 2011 2012 2010

2 2009 2010 2008

............................................

2 3 4 2

2 1 2 0

                  

    2013 2 2011 2009 ... 3 1 2 2012 2010 ... 4 2           

1 2013 2011 2009 2007 ... 3 1 2012 2010 ... 4 2 2            

A B  

b) Tính    

2 2 2 2013 2013 C 1 2013 2014 2014

          

2 2 2 2 2 2013 2013 2013 2013 C 1 2013 1 2013 2.2013 2014 2014 2014 2014

                    

2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2014 2.2014. 2014 2014 2014 2014 2014 2014

    2013 2013 2014 2014 2014 2014

Baøi 2: Giải phương trình vaø heä phương trình:

HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HSG LỚP 9

QUẬN 3-(2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

a) 2 2 15 3 2 10      x x x x

Điều kiện : 2  x

2 2 3 2 15 10 0        pt x x x x    

  

2 2 3 5 2 3 0

2 3 2 5 0

     

    

x x x

x x

 

 

3 2 3 0 2 2 5 0 23

              

x x nhận

x x nhận

. Vậy 3 23 2       S ;

b)

2 2 2 x x 4 8 x 4    

Điều kiện : 2 2 2 4 0 4 2 x x x x

       Cách 1 :

Đặt :   2 4 0 x y y    . Ta có : 2 2 2 2 4 4 x y x y      . Phương trình trở thành :

   

2 2 2 2 2 2 2 4 2 8 4 4 4 2 8 2 4 4 2

y y y y y y y y y                 

    2 3 2 6 0 2 2 y y y nhận ,y loại        .

 Với 2 2

2

3 0 2 3 3 5 4 2 2 2 3 4 2

y x x x

                    

(nhận)

Cách 2 : Với điều kiện trên phương trình trở thành :

 

2 2 2 2 2 2 x 4 x 4 16 2x x 4 2 16 2x         

  2 2 2 2 2 x 4 2 16 2x 2x 14 x 4 0 vì x 4 2 0             

  2 2 2 x 4 x 4 6 0      

Đặt   2 t x 4, t 0    thì phương trình thành :

     2 2t t 6 0 t 2 2t 3 0 2t 3 0 vì t + 2 > 0         

2 2 2 2 x 4 3 4x 16 9 4x 25         5 x 2   (nhận)

Vậy 5 5 2 2 S ;        

ThuVienDeThi.com