Đề kiểm tra học sinh giỏi vòng 2 lớp 9 Quận 1 (2014-2015) môn Toán

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 (Voøng 2) –Quận 1 (14-15)

Bài 1: (4 điểm)

a) Cho các số a, b, c khác nhau và thỏa mãn:     2 2 a b c b c a 2015     . Tính giá trị của biểu

thức   2 M c a b  

b) Chứng minh rằng: nếu a b 2   thì phương trình (ẩn x): 2 2ax bx 1 a 0    có nghiệm.

Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)

 

3 3 3 x 3x x 7 0 x 1 x 1      

b) 2 2 2 xy x 1 7y

x y xy 1 13y

       Bài 3: (4 điểm)

a) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a b c abc   . Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 3 2 1 a 1 b 1 c       b) Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: 2 p 23  có đúng 6 ước dương.

Bài 4: (6 điểm) Cho ABC  nội tiếp (O;R) có AB AC R 2   . M là điểm di động trên cung AC. Gọi D là giao điểm của AM và BC.

a) Tính độ dài BC theo R. b) Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng AD. Xác định vị trí của điểm M để AM ON  nhỏ nhất. Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các tia BA, CD cắt nhau tại E, các tia DA, CB cắt nhau tại F. Đường tròn ngoại tiếp CEF  cắt đường tròn (O) tại N (khác C). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh: M, A, N thẳng hàng.

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9

Quận 1 (2014-2015)

ThuVienDeThi.com

CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015

Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 (Voøng 2) –Quận 1 (14-15)

Bài 1: (4 điểm) a) Cho các số a, b, c khác nhau và thỏa mãn:     2 2 a b c b c a 2015     . Tính giá trị của biểu

thức   2 M c a b  

Cách 1:

Ta có:        

2

2 a b c a ab ac bc abc 2015

b c a b bc ab ac abc 2015

               Do đó:      a b ab bc ca 0 ab bc ca 0 vì a b          abc 2015  

Vậy       2c a b c ca bc ab abc 2015 2015       

Cách 2: Ta có:          2 2 2 2 2 2 a b c b c a a b a c b c b a 0 ab a b c a b a b 0              

     a b ab bc ca 0 ab bc ca 0 vì a b          

Do đó:             2a b c a ab ac a bc abc

Vì vậy:                   2 2 M c a b c ca bc c ab abc a b c 2015

Vậy M 2015 

b) Chứng minh rằng: nếu a b 2   thì phương trình (ẩn x): 2 2ax bx 1 a 0    có nghiệm.

Cách 1: Xét phương trình: 2 2ax bx 1 a 0    (1) với a b 2  

 a 0 b 2    : (1) có dạng:   1 bx 1 x do b 2 nên b 0 b     . Vậy (1) có nghiệm.

 a 0  :   2 b 8a 1 a   

   a 1 a 0    a < 0 hay a 1  thì 0   1  có nghiệm.

   a 1 a 0   0 a 1   : từ gt ta có : b 2 a 2 a    

      2 2 2 2 2 2 b 4 4a a b 8a 1 a 8a 1 a 4 4a a 9a 12a 4 3a 2 0                  

0   1  có nghiệm.

Cách 2:

  2 2 2 b 8a 1 a b 8a 8a      

Từ gt ta có:    2 4 a a b 8 a 8a 4a 4 ab 8a 2      

Mặt khác:  2 2 2 2 b 4a 2 4a b 4 ab 3   

Từ (2) và (3) cho ta: 2 2 2 2 8a b 8a 8a b 8a 0 0       

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9

Quận 1 (2014-2015)

ThuVienDeThi.com