Đề HSG Toán 9 huyện Thanh Hà năm hoạc 2015 2016

ĐỀ HSG TOÁN 9 HUYỆN THANH HÀ

NĂM HOẠC 2015 – 2016 Câu 1. (2.5đ).

1) Cho biểu thức 4 x 8x x 1 2 A : 4 x 2 x x 2 x x

                  

a) Rút gọn A. b) Tìm x để A = - 1. 2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c   = 2.

Chứng minh rằng: a b c 2 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)         

Câu 2. (1.5đ). Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số). Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất. Câu 3. (2.0đ). 1) Giải phương trình 4 2 7 x x 1 x 18x 85      

2) Tìm x, y biết rằng: 2 2 1 1 x y 2,5 2x 3y 2 2    

Câu 4. (3 đ). 1) Cho điểm M nằm ngoài (O; R). Kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O). (A, B là các tiếp điểm với (O). MO cắt AB tại H. Qua H kẻ dây CD bất kì của (O). (Dây CD không trùng với dây AB, không đi qua O). a) Chứng minh rằng AB < CD. b) Kẻ tiếp tuyến tại C, D với (O) cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN // AB. 2) Không sử dụng máy tính bỏ túi. Hãy tính chính xác cos360. Câu 5. (1đ). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1.

Chứng minh rằng:

2 2 2 2a b c 9 4 1 a 1 b 1 c      

ThuVienDeThi.com

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI: Câu 1. (2.5đ).

1) Cho biểu thức 4 x 8x x 1 2 A : 4 x 2 x x 2 x x

                  

HD: a) Rút gọn A: ĐK: x > 0; x  4.

 

4 x 8x x 1 2 A : 4 x 2 x x 2 x x

4 x 2 x 8x x 1 2( x 2) A : (2 x)(2 x) x( x 2)

                  

    

  

8 x 4x x( x 2) A . (2 x)(2 x) 3 x   

  

  4 x 2 x x(2 x) A . (2 x)(2 x) 3 x

   

  

4x A

3 x  



b) Tìm x để A = - 1.

Ta có A = - 1  4x 1 3 x   

 4x x 3 0    

x 1

3 x 4

     

 x = 9/16 (thỏa mãn)

2) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = a b c   = 2.

Chứng minh rằng: a b c 2 1 a 1 b 1 c (1 a)(1 b)(1 c)         

HD: Từ a b c   = 2  a + b + c + 2( ab ac bc) 4     2+ 2( ab ac bc   ) = 4

 ab ac bc   = 1

 1 + a = ab ac bc   + a = ( a b)( a c)   Tương tự, 1 + b = ( b c)( b a)   ; 1 + c = ( c b)( c a)  

 (1 + a)(1 + b)(1 + c) =

2 ( b c)( b a)( c a)       

 2 (1 a)(1 b)(1 c)   

= 2 ( b c)( b a)( c a)   

(1)

Lại có: a b c 1 a 1 b 1 c      = a( b c) b( a c) c( a b) ( a b)( b c)( c a)        

ThuVienDeThi.com

= ab ac bc ab ac bc ( a b)( b c)( c a)        

= 2 ( a b)( b c)( c a)   

(2)

Từ (1) và (2)  điều phải chứng minh. Câu 2. (1.5đ). Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình: (m – 4)x + (m – 3)y = 1 (với m là tham số). Xác định điều kiện của m để khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất. HD: + m = 4 thì (d) có phương trình y = 1  khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (1). + m = 3 thì (d) có phương trình – x = 1  khoảng cách từ O tới (d) bằng 1 đơn vị độ dài (2). + m  4 và m  3.

(d) cắt Ox tại 1 A ;0 m 4        và cắt Oy tại 1 A 0; m 3        tạo thành OAB vuông tại O.

Kẻ OH  AB tại H thì 2 2 2 1 1 1 OH OA OB  

 2 2 2 1 (m 4) (m 3) OH     = 2m2 – 14m + 25.

2 2 OH 4m2 – 28m + 50 = (2m – 7)2 + 1  1

 OH2  2  OH 2  . Dấu “=” xảy ra  m = 7/2. (3) Từ (1), (2), (3)  OHmax = 2  m = 7/2. Câu 3. (2.0đ). 1) Giải phương trình 4 2 7 x x 1 x 18x 85       HD:

Ta có:  

2 2 2 (1 1 ).(7 x x 1) 7 x x 1        

 2.8   

2 7 x x 1     7 x x 1     4. Dấu “= “ xảy ra  x = 3. (1).

Lại có: x4 – 18x2 + 85 = (x2 – 9)2 + 4  4. Dấu “= “ xảy ra  x = 3 hoặc x = - 3. (2). Từ (1) và (2)  phương trình có nghiệm x = 3.

2) Tìm x, y biết rằng: 2 2 1 1 x y 2,5 2x 3y 2 2    

HD:

2 2 1 1 x y 2,5 2x 3y 2 2      2 2 x y 5 2 2x 2 3y 0     

    

2 2 x 2 y 3 0      x 2

y 3

 

 

ThuVienDeThi.com