Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Hậu Lộc môn Toán 9 năm học 2011-2012

Phòng GD - ĐT Hậu Lộc Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (5 điểm):

Cho biểu thức 15 x 11 3 x 2 2 x 3 A

x 2 x 3 1 x x 3           a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị của A khi x = 2 1

3 2 2





c) Chứng minh rằng: A ≤ 2

3 Bài 2 (3 điểm):

a) Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn 1 1 1 2 a 1 b 1 c 1      

Chứng minh rằng : abc < 1

8 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

y x 1 x y 4 M xy   

Bài 3 (3 điểm):

a) Chứng minh nếu với    

2 2 x yz y xz x 1 yz y 1 xz      x y,yz 1,xz 1,x 0,y 0,z 0      

thì 1 1 1 x y z x y z     

b) Giải phương trình:  

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 8 x 4 x 4 x x x 4 x x x x                             

Bài 4 (3 điểm):

Đội A và đội B thi đấu cờ với nhau. Mỗi đấu thủ của đội A phải đấu một ván cờ với mỗi đấu thủ của đội B. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội A cộng với hai lần số đấu thủ của đội B. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ biết rằng số đấu thủ của đội A không ít hơn 5 người? Bài 5 (6 điểm):

Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB tại F, M là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng:

a) CE = CF b) A A ACE BCM  c) Khi điểm N di chuyển trên cạnh AB ( N không trùng với A và B) thì M chuyển động trên một đường thẳng cố định. 2. Đặt BN = x

a) Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x. b) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD.

ThuVienDeThi.com

Đáp án – Biểu điểm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

Môn Toán 9 Năm Học 2011-2012

Bài 1 (5 điểm) a) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 (0,5 điểm)

(0,5 điểm)   

15 x 11 3 x 2 2 x 3 A

x 1 x 3 x 3 x 1

         

(0,5 điểm)        

15 x 11 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1

x 1 x 3

       

 

(0,5 điểm)   

15 x 11 3x 9 x 2 x 6 2x 2 x 3 x 3

x 1 x 3

         

 

(0,5 điểm)   

     

2 5 x x 1 7 x 5x 2 2 5 x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1

       

    

b) x = = (0,5 điểm) 2 1

3 2 2





  

2

2 2 1 2 1 2 1 x 2 1 2 1 2 1 2 1

          

(0,75 điểm) 2 5 x 2 5 2 5 7 5 2 24 17 2 A 2 x 3 2 1 3 2 2            

c) Xét hiệu: (0,5 điểm)    

2 2 5 x 2 6 15 x 2 x 6 17 x A 3 3 x 3 3 x 3 3 x 3

            

Ta có: ≤ 0 và > 0, x ≥ 0; x ≠ 1 17 x    3 x 3 

(0,75 điểm)  

17 x 2 2 0 A 0 A 3 3 3 x 3

        

Bài 2: (3 điểm)

a) Từ (0,5 điểm) 1 1 1 2 1 (ab ac bc) 2abc a 1 b 1 c 1           Do a, b, c dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có:

(0,25 điểm) 2 2 2 3 ab ac bc 3 a b c   

2 2 2 2 2 2 3 3 1 3 a b c 2abc 2abc 3 a b c 1 0 (*)     

Đặt = t > 0  abc = 2 2 2 3 a b c

3t t t  (*) 2t t 3t 1 0   

2 ( t 1) (2 t 1) 0    

(do > 0, t > 0) 2 t 1 0  

2 ( t 1) 

(0,75 điểm) 1 1 t abc 2 8    

ThuVienDeThi.com

b) Với điều kiện ta có: x 1,y 4  

M = (0,25 điểm) y 4 x 1 x y

  

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm 1 và x - 1, ta có:

(vì ) (0,25 điểm)   1 x 1 x x 1 1 x 1 2 2       x 1 1 x 2    x 1 

Chứng minh tương tự ta có:

(vì ) (0,25 điểm)   1 1 4 y 4 y y 4 4 y 4 2 2 2 4         y 4 1 y 4    y 4 

 M = (0,25 điểm)

y 4 x 1 1 1 3 x y 2 4 4      

Vậy Max M = x = 2, y = 8 (0,5 điểm) 3 4 

Bài 3 (3 điểm) a) Với . Từ gt ta có: x y,yz 1,xz 1,x 0,y 0,z 0      

   

2 2 x yz y xz x 1 yz y 1 xz           2 2 x yz y xyz y xz x xyz      

(0,25 điểm) 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 x y x yz y z xy z xy xy z x z x yz 0               2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 x y xy x yz xy z x z y z x yz xy z 0         

        2 2 2 2 2 xy x y xyz x y z x y xyz x y 0         

     

2 x y xy xyz x y z x y xyz 0            

(vì )    

2 xy xyz x y z x y xyz 0        x y x y 0    …