Đề thi học sinh giỏi vòng thành phố Cao Lãnh môn toán - Lớp 9 THCS Năm học 2011 2012

-1-

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG THÀNH PHỐ

Môn: Toán - Lớp 9 THCS. Năm học: 2011 – 2012 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 19/01/2012.

Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang.

- Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Câu 1. (4 điểm)

a). Tính giá trị biểu thức: . 4 3 2

4 8 6 3 2

 

     A

b). Rút gọn biểu thức: . x x x

x x x

x x x

x x x

2

2

2

2

2

2

2

2

 

    

   B

Câu 2. (4 điểm)

a) So sánh hai số C và D biết: C = ; D = . 2010 2011  2011 2012 

b) Cho xy  1.Chứng minh rằng: xy y x      1

2 1

1 1

1

2 2 .

Câu 3. (4 điểm)

a) Giải phương trình: . 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x

       

b) Giải hệ phương trình sau

2

2 4 8

2

xy y

xy x

       

(1) (2)

Câu 4. (4 điểm) Cho ABC và trung tuyến AM (M BC). Kẻ đường thẳng d cắt AB tại E,  cắt AC tại F và cắt trung tuyến AM tại N.

a) Chứng minh: AN

AM AF AC AE AB 2   .

b) Giả sử đường thẳng d//BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P, đường thẳng KM cắt AC tại Q. Chứng minh PQ//BC.

Câu 5. (4 điểm): Cho hình vuông ABCD. Gọi P là trung điểm của cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm Q sao cho AQ = 3.QC . Chứng minh PQ QD. 

- Hết -

Họ và tên thí sinh: …………………………… SBD: …..…… Phòng thi số: ……

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

Đề thi chính thức

ThuVienDeThi.com

-2-

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN

Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố

Năm học: 2011 -- 2012

(Đề thi chính thức)

Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa.

Bài Lời giải Điểm 1 (4đ) a) .     2 1 4 3 2

4 3 2 2 4 3 2

4 3 2

4 2 4.2 3.2 3 2    

       

     A

b). B có nghĩa 

2

2 2 2 x 2x 0 x(x 2) 0 x 2 x 0 x x 2x x x 2x

                    

     x x x

x x x x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

 

       

    

   B

  x x x

x x x x x x x x x x x x 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

           

1,5

0,5

1,0

1,0

2 (4đ) a) Ta có: C ; D 2010 2011

1  

2011 2012

1  

Vì 2011 2012 2010 2011    Nên C > D.

b) Ta có: xy y x      1

2 1

1 1

1

2 2  0 1

1 1

1 1

1 1

1

2 2   

  



     

  



   xy y xy x

      0 1 . 1 1 . 1 2

2

2

2

  

   



xy y

y xy xy x

x xy       0 1 . 1

) ( 1 . 1

) (

2 2   

   



xy y

y x y xy x

x y x

        0 1 . 1 . 1

1

2 2

2

   

 

xy y x

xy x y BĐT cuối này đúng do xy > 1 .

Vậy xy y x      1

2 1

1 1

1

2 2 .

0,5

0,5 0,5

0,5

1,0

1,0

3 (4đ) a) Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 4. Đặt . 2 x a 0 ; 2 x b 0      

Ta có : ab = , a2 + b2 = 4. Phương trình là: 4 x 

2 2 a b 2 2 a 2 b      a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) 2 2 2 2 2  (a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) 2  (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) 2  a – b = (do ab + 2 ≠ 0) 2 Bình phương: a2 + b2 – 2ab = 2  2ab = 2  ab = 1  = 1. 4 x  Tìm được x = 3. b) Từ phương trình (1)

2 8 0 y    hay 8 y 

Từ phương trình (2)

2 2 . 2 2 x x y x    

0,5

1,0

0,5

0,5

ThuVienDeThi.com