Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi huyện Hạ Hòa năm học 2015 2016 môn Toán

Câu 1 (3,0 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 8 38 6 x x y    b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho .    2 2 2015 2015 2015 x x y y     

Hãy tính giá trị của biểu thức 2016. A x y   

b) Chứng minh rằng: Nếu và thì 3 3 3 cz by ax   1 1 1 1 x y z   

. 3 3 3 3 2 2 2 c b a cz by ax     

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình:   2 4 4 4 2 11 4 x x x    

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 ( ) 4 1 0

( ) 2 7 2

x x y y y

y x y x y

          

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh và đồng dạng và AEF  ABC  2 os . AEF

ABC

S c A S 

b) Chứng minh rằng:   2 2 2 1 cos cos cos . DEF ABC S A B C S    

c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (2,0điểm).

Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3 2 2 2 2 2 2

2 2 2 a b c a b b c c a P . 2abc c ab a bc b ca            

-------HẾT-------

Họ và tên thí sinh:…………………………………, SBD:…………………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn: TOÁN Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 1 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN Đây là lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo thang điểm dưới đây Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 4 8 38 6 x x y   

(*) 2 2 4 8 38 6 x x y     ) y 7 ( 3 )1 x ( 2 y 3 19 x 4 x 2 2 2 2 2        0,5 Ta thấy: lẻ y 2 y 7 2 )1 x ( 2 2 2       0,25 Ta lại có: . Do đó 7 y 0 y 7 2 2     1 y 1 y2     0,25 Lúc đó: nên 3 )1 x ( 18 )1 x ( 2 2       4 x ;2 x 2 1    0,25

a

Ta thấy các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên là nghiệm của phương trình. 0,25

Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 0,25 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 0,25 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) 0,25 Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên 0,25 n2 – 2n + 2 = 1 0,25

1

b

<=> n = 1 0,25

Cho . Hãy tính biết: ?    2 2 2015 2015 2015 x x y y      A 2016 A x y   

Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:   2 2015 x x  

(1)     2 2 2015 2015 2015 2015 y y x x      

0,5

Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:   2 2015 y y  

(2)     2 2 2015 2015 2015 2015 x x y y      

0,5

Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0. 0,75

a

Vậy A = 2016. 0,25

b) Chứng minh rằng: Nếu và thì 3 3 3 cz by ax   1 z 1 y 1 x 1   

3 3 3 3 2 2 2 c b a cz by ax      Đặt: . Ta có: t cz by ax 3 3 3    0,25

vì (1) 3 3 3 2 2 2 t z

t y

t x

t cz by ax       1 z 1 y 1 x 1    0,5

Mặt khác: 3 3 3 3 c z b y a x t    0,5

Suy ra: (2) 3 3 3 3 3 t z 1 y 1 x 1 t c b a   

  

      0,5

2

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,25   2 4 4 4 2 11 4 (1) x x x            2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 11 2 2 2 2 x x x x x x x x           

0,5 3 a

  2 2

2 2 6 2 2 2 2 2 11 2 2 2 2

x x x x x x x x

          

0,5

ThuVienDeThi.com