Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - Đề 26 đến 34

1

Trường THCS Bảo thành Đề 26

Câu 1: (2,0 điểm) Cho

2 2

1 1 x x x x A

x x x x         a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – 1. Tìm GTNN của biểu thức B. Câu 2: (1,5 điểm)

Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn x2 – 5xy + 6y2 + 1 = 0 Câu 3: (2,5 điểm)

a) Tìm x, y biết : 1 1 4 x y x y    

b) Giải phương trình : 3 2 1 2 1 2 x x x x x       

Câu 4: (1,0 điểm)

Cho hai số thực . CMR : , 0 x y 

2 2

2 2 4 3 x y x y y x y x           Câu 5: (2,0 điểm)

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ? c) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O.

------Hết------ Đề 27

Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức 2 3 3 3 3 1 3 3 27 3 x Q x x x x

                   a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi 3 2010 x  

Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức 4 7 4 7 M    

Bài 3(1đ): Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta có

2 2 2 a b c ab bc ac      Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = 8 . Tìm giá trị lớn nhất của B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình

2 2 9 6 9 0 x x x      b/ 2 2 4 4 0 x x     Bài 6(2,5đ)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD và . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G . AB BD  Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD . Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F sao cho DF = GB

Chứng minh đồng dạng với . FDG  ECG  Đề 28 Câu 1: (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức: . 3

3 2

1

2 3

3 2

11 15



  

   

 

x

x

x

x

x x

x P

ThuVienDeThi.com

2

a) Rút gọn biểu thức .; b) Tìm m để có x thỏa mãn . P  m x P  3

2. Cho hàm số: . Tìm với  

2012 3 7 6    x x x f  a f . 17 3 17 3 3 3     a Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:   .9 5 9 5 2 2      x x x x 2. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: . 2 1 2 2 2 2 xy y x y x xy       Câu 3: (4,0 điểm)

1. Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên. 2012  x 2012 13  x 2. Cho ba số thực thoả mãn . Chứng minh rằng: z y x , , 1  xyz

Nếu thì trong ba số có duy nhất một số lớn hơn 1. z y x z y x 1 1 1      z y x , ,

Câu 4: (6,0 điểm)

1. Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC. Giả sử BPC = 1350. Chứng minh rằng AP2 = CP2 + 2BP2.

2. Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC. Biết rằng độ dài các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn hơn 1.

Chứng minh rằng SABC (SABC là diện tích tam giác ABC). 3

1 

Câu 5: (2,0 điểm)

Với x, y là những số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

3 3

3

3 3

3 4 8 y x y

y y x

x Q

    

Đề 29 Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: . Với x > 0, x 1. 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P

x x x x x

                



a. Rút gọn biểu thức P.; b, Tìm x để .; c, So sánh: P2 và 2P. 2 7 P 

Bài 2: (4,0 điểm)

a. Tính giá trị biểu thức: . 7 4 3 4 2 3 A     b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013

và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013. 1 1 1 1 2013 a b c   

Bài 3: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: . 2 7 6 5 30 x x x     b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3

2 2 2

( ) ab bc ca a b c P abc a b c

        Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, AH BC, HE AB, HF AC ( H BC,     E AB, F AC).   a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B.

b. Chứng minh rằng: . 3

3 AB BE CF AC



c. Chứng minh rằng: . 3 3 3 2 2 2 BC CF BE   d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.

ThuVienDeThi.com