Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2014 2015 môn thi Toán

caovanpbc@gmail.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2014 – 2015

Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/4/2015 Câu 1: (2 điểm)

Cho biểu thức

3

3 2 1 1 . 1 1 1

x x x P x x x x x

                      

với 0  x và 1  x .

Rút gọn biểu thức P . Tìm x để 3 P x  . Câu 2: (4 điểm)

1/ Cho các số nguyên a,b,c. Chứng minh rằng: a2015 + b2015 + c2015 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6 . 2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;2), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên tố. Câu 3: (6 điểm)

1/ Giải phương trình: 1 2 2 3 x x x    

2/ Giải hệ phương trình:

4 2 2 2

2 4

2

1 1

y y x xy x

x x y y

          

3/ Cho các số 0, 0 a b  và 3 a b ab  . Chứng minh:

1 3 1 1 1 2 a b ab b a       .

Câu 4: (2 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). M là điểm thay đổi trên cạnh AB ( M khác A và B). Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên của hình thang ABCD. Các tia CM và DM lần lượt cắt SD, SC tại E và F.

Chứng minh rằng biểu thức SE SF ED FC  có giá trị không đổi khi M thay đổi.

Câu 5: (6 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ bán kính OH vuông góc với AB. M là điểm thay đổi trên đoạn OH ( M khác O và M khác H). Đường thẳng AM cắt nửa đường tròn (O) tại C (C khác A).

a/ Khi M là trung điểm OH, tính độ dài đoạn CM theo R. b/ Xác định vị trí điểm M trên đoạn OH biết CB2 = CA.CM c/ Gọi N là giao điểm của OC và BM. Chứng minh rằng với điểm M được xác định ở câu b/ thì tích NM.NB đạt giá trị lớn nhất .

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com