Đề thi HSG cấp TP Quy Nhơn Năm học 2015-2016 môn thi Toán 9

Năm học: 2015-2016 Ngày thi: 01/12/2015 MÔN THI: TOÁN Bài 1: (3đ)

Cho 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 120 121 A         

; 1 1 1 1 .... 2 3 35 B    

CMR A=10 và B>A Bài 2: (5đ)

a) Giải pt: x2+4x+5=2 2 3 x  b) Tìm các nghiệm nguyên của pt: 2x2+4x=19-3y2 Bài 3: (5đ)

a) CMR nếu ba số a,a+k,a+2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6

b) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho ac, bc. CMR:     c a c c b c ab    

Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3

4

AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE ở I.

Gọi M là trung điểm của BC. CMR:

a) CD=CM b) 0 90 BIM  Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) . Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB. Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao điểm MC với DE. CMR:

a) MD2=ME.MF b) PQ//BC

……../…….. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (3đ)

Ta có:

  

1 1 1 1 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n n n n

              

với * n N 

=>A= 1 2 2 3 3 4 ............. 120 121 1 121 1 11 10             

Ta có:     

2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1

n n

n n n n n n n n n n

         

với * n N 

=>B > 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 4 ......... 2 35 2 36 2 1 2 36 2 12 10              => B>A Bài 2: (5đ)

a) x2+4x+5=2 2 3 x  (ĐK: 3 2 x  )

       

 

2 2 2 2 x 4x 5 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 1 0 1 2 3 1 0

1 0 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 2 3 1

x x x x x x x

x x x x x TMDK x x x x

                                                       

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-1

b) 2x2+4x=19-3y2 2(x+1)2 +3y2 =21 (*) => 3y221 =>y27 , mà yZ => y2   0;1;4 

-Nếu y2=0 hay y=0 thì (*) 2(x+1)2 =21 

2 21 1 2 x Z    (loại)

-Nếu y2=1 hay y= 1  thì (*) 2(x+1)2 =18 

2 1 3 2 1 9 1 3 4

x x x x x

             

ThuVienDeThi.com

2

2 1

1

2 1

2 1

E

D

I

M

B

A C

-Nếu y2=4 hay y= 2  thì (*) 2(x+1)2 =9 

2 9 1 2 x Z    (loại)

Vậy pt có bốn nghiệm nguyên (x;y) là (1;2) ;(1;-4) ; (-1;2) ;(-1;-4) Bài 3: (5đ)

a) CMR nếu ba số a,a+k,a+2k đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì k 6 Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 => a là số lẻ và a không chia hết cho 3 => a=3p 1  (với p N  )

Vì a là số lẻ mà a+k là số nguyên tố => k là số chẵn => thì k 2 (1) Nếu k không chia hết cho 3 => k=3q 1  ( với q N  ) -Xét trường hợp: a= 3p+1,

+ Nếu k=3q+1 thì a+2k=3p+3q+3 3 => a+2k là hợp số (loại) +Nếu k=3q-1 thì a+k=3p+3q 3 => a+k là hợp số (loại) --Xét trường hợp: a= 3p-1,

+ Nếu k=3q-1 thì a+2k=3p+3q-3 3 => a+2k là hợp số (loại) +Nếu k=3q+1 thì a+k=3p+3q 3 => a+k là hợp số (loại)

Vậy k 3 (2) Vì (2;3)=1 nên từ (1) và (2) suy ra k k 6 b) Với a, b, c là các số thực dương sao cho ac, bc. Theo BĐT Cô-si cho hai số không âmTa

có:

    1 1 . . 2 2

1 1 1 .2 1 2 2 2

c a c c b c c a c c b c c a c c b c ab ab b a a b b a a b

c a c c b c a b b a a a b b a b

                        

                     

Vì :     1 c a c c b c

ab ab

    nên =>     c a c c b c ab    

Bài 4: (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3

4

AC, đường phân giác BD cắt đường phân giác CE ở I.

Gọi M là trung điểm của BC. CMR:

a)CMR: CD=CM

Đặt AC= 4a>0 => AB= 3

4

AC=3a, theo định lý Pytago, ta có : AC=

2 2 AB AC  =5a.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

5 5 5 5 3 3 3 5 8 5 5 . 8 2

CD BC a CD CD AD AB a CD AD AC

CD AC a

        

  

Lại có : CM= 5 2 2 BC a  .Suy ra CD=CM

b) CMR : 0 90 BIM 

Ta có DCI= MCI (c-g-c) => D2=M2 =>D1=M1, lại có B1=B2 => ABDIBM  BIM=DAB=900 Bài 5: (4đ) Cho đường tròn (O) và điểm A ở bên ngoài (O). Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm ) . Lấy 1 điểm M trên cung nhỏ BC và gọi D,E,F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA,AB. Gọi P là giao điểm MB với DF , Q là giao …