Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - Tập 2

1

PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn: Toán 9 Sưu tầm: Phạm Văn Cát THCS Cẩm Định Cẩm Giàng HD

Thời gian làm bài:150 phút

(Đề thi gồm 01 trang Ngày thi 16-10-2013

Câu 1( 2 điểm)

a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - 1 )2 + 2013

Tính giá trị của A khi x = 3 3

3 1 1 3 1 1   

b) Cho (x + ).(y + )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0 2 2013 x  2 2013 y 

Câu 2 ( 2 điểm)

a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) 2 1 x 

b) Chứng minh , với a, b, c>0 2 a b c b c a c b a      

Câu 3 ( 2 điểm) a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017

Câu 4 ( 3 điểm)

1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE

2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh  sin 2

a b c  

Câu 5( 1 điểm)

Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:

1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c          

.................... Hết ...............

ThuVienDeThi.com

2

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu Nội dung Biểu điểm 1 a)

b)

x = = 3 3

3 1 1 3 1 1   

3( 3 1 1) 3( 3 1 1) 3 1 1    

= 3( 3 1 1 3 1 1) 2 3 2 3 1 1 3      Thay x = 2 vào biểu thức A ta có: A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014

Vậy khi x = thì giá trị của biểu thức A là 2014 3 3

3 1 1 3 1 1   

-----------------------------------------------------------------------------------

(x + ).(y + )=2013 2 2013 x  2 2013 y 

(x - )(x + ).(y + )=2013(x - ) 2 2013 x  2 2013 x  2 2013 y  2 2013 x 

-2013.(y + )=2013(x - ) 2 2013 y  2 2013 x 

-y - =x - 2 2013 y  2 2013 x 

Tương tự: -x - = y - 2 2013 x  2 2013 y 

x+y =0 x =-y x2013+ y2013=0   

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2 a)

b)

x2+ 5x +1 = (x+5) 2 1 x  x2+1 + 5x = (x+5) 2 1 x  x2+1 + 5x - x - 5 =0 2 1 x  2 1 x 

( -x) +5(x- )=0 2 1 x  2 1 x  2 1 x 

( -x) ( - 5) = 0 2 1 x  2 1 x 

( -x) = 0 hoặc ( - 5) = 0 2 1 x  2 1 x  =x hoặc = 5 2 1 x  2 1 x  x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25 x2 = 24 x = 24  Vậy nghiệm của PT là x = 24 

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

3

3 Ta có ( ) 2 b c a b c a    ( ) 2

b c a b c a a a    

2 b c a b c a a      2 a a b c a b c    

Tương tự: , 2 b b a c a b c    

2 c a b a a b c    

2( ) 2 ( ) a b c a b c b c a c b a a b c            Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)

Vậy 2 a b c b c a c b a      

0,25

0,25

0,25

0,25 4 a)

b)

(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x2+10x+16)( x2+10x+24) +2013 =( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013 =( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21 = y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998 (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998

A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014 Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0

0,5

0, 5

0,5

0,5 5

a)

b)

E

D

C H B

A

Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH AB, HE AC   Tứ giácADHE có =90 0, =90 0, =90 0 ADAE AADH AAEH Tứ giácADHE là hình chữ nhật AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC

Ta có AH2=BH.HC AH3=BH.HC.AH  AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC

AH3=BC.BD.CE 

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

ThuVienDeThi.com