Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 9 - Tập 1

1

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.

a. Phân tích thành nhân tử: Q 5 2 2 2 10 Q x x x    

b. Tính khi biết Q 13 4 10 x  

Câu 2. Cho hàm số: ; với tham số. 2 1 y x m    m

a. Xác định để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. m

b. Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là m

hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để m 2 2 OH 

b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Câu 3.

a. Giải phương trình: 1 2 2 1 5 2 x x x x     

b. Cho là hai số dương thỏa mãn: . ;a b 2 2 6 a b  

Chứng minh: 2 3( 6) ( ) 2 a a b   

c. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2008 2009 2010 0 x xy x y     

Câu 4.

Cho đường tròn (O; ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với R

nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên

CD và AB.

a. Tính : : : : 2 2 2 2 sin sin sin sin MBA MAB MCD MDC   

b. Chứng minh: 2 (2 ) OK AH R AH  

c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Hết./.

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang)

ThuVienDeThi.com

2

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)

Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm

a       

5 2 2 2 10 5 2 2 5

5 2 2

Q x x x x x x

x x

        

 

0,5

0,5

1

b

13 4 10 x   2 8 2.2 2. 5 5 (2 2 5) 2 2 5 x        

Vậy:    2 2 5 5 2 2 5 2 2 2 2.( 5) 2 10 Q        

0,5 0,5

2,0

a

; với tham số 2 1 y x m    m

Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 1 2 1 0 2 m m     0,25

b

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A  2 1;0 m 

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B  0; 2 1 m  

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 

Hay 2 2 2 1 1 1 OH OA OB   2 2 2

0 1 1 2 2 2 1 (2 1) A B

m m x y m

         

0,5

0,5 2

c

Hoành độ trung điểm I của AB: 2 1 2 2

A B I

x x m x    

Tung độ trung điểm I của AB: (2 1) 2 2

A B I

y y m y     

Ta có: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường I I y x  

thẳng y x 

0,5

0,25

2,0

a

Điều kiện: 2 x 

 

2

2

1 2 2 1 5 2 2 2 2 1 1 5 2

2 1 1 5 2 0 2 1 1 5 2 0

2 4 2 4 0 ( 2 2) 0 6 2

x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

           

            

            

Vậy nghiệm của pt là: 6 x 

0,2

0,2

0,3

0,3 3

b

Với là hai số dương ta có: ;a b

(Theo Bunhiacopski)    

2 2 2 2 1 1 2. . .1 2 1 2 2 a b a b a b                   0,25

2,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

3

(Vì ) Hay     2 2 3 6 2 a b a     2 2 6 a b   2 3( 6) ( ) 2 a a b    0,25

c

2

2

2008 2009 2010 0

2009 2009 2009 1

x xy x y

x xy x x y

    

      

( 1) 2009( 1) 1 ( 2009)( 1) 1 x x y x y x x y           

2009 1 2010

1 1 2010

2009 1 2008

1 1 2010

x x

x y y

x x

x y y

                                      

0,25

0,5

0,25

H

K

D

C

A O B

M

0,25

a

Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:

= : : : : 2 2 2 2 sin sin sin sin MBA MAB MCD MDC   

= 1 + 1 = 2 : : : : 2 2 2 2 (sin os ) (sin os ) MBA c MBA MCD c MCD   

0,75

b

Chứng minh: 2 (2 ) OK AH R AH  

Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)

0,5

0,5 4

c

P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)

Mà OH.MH (Pitago)

2 2 2 2

2 2 2 OH MH OM R    

Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH

2 2 4 4 . 2 2 R P R R   

OH =  2 2 R

0,25 0,25

0,25

0,25

3,5

ThuVienDeThi.com