Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2012 - 2013 môn thi Toán

phòng Giáo dục & Đào tạo

Thanh MAI

§Ò thi chän häc sinh giái líp 9

Năm học 2012 - 2013

Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút

(không kể thời gian giao đề )

Bài 1 ( 6 điểm )

Cho P =  

  



   

   

  

  



  

3 2 2

3 6 9 : 9 3 1

x x x x x x

x x

x x

1. Rút gọn P. 2. Tìm x để P > 0 3. Với x > 4, x ≠ 9. Tìm giá trị lớn nhất của P.(x + 1) Bài 2 ( 4 điểm )

1. Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là 1 số chính phương. 2. Cho: a > 0, b > 0 và ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A =    b a b a b a      4 1 2 2

Bài 3 ( 2 điểm )

Cho hệ phương trình : 

 

  

  

2012 2012

2012 2012

y x

y x

1. Chứng minh rằng : x = y 2. Tìm nghiệm của hệ phương trình. Bài 4 ( 5 điểm )

Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A( R > R’). Vẽ dây AM của đường tròn ( O ) và dây AN của đường tròn ( O’) sao cho AM AN. Gọi BC là  tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) với B (O) và C (O’)   1. Chứng minh OM // O’N. 2. Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui. 3. Xác định vị trí của M và N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 5 ( 3 điểm )

1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma, mb, mc lần lượt là trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng :

r

r R hc mc hb mb ha ma    

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1.

__________________________________________________________

§Ò chÝnh

ThuVienDeThi.com

phòng Giáo dục & Đào tạo

Thanh MAI

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2012 - 2013

Môn thi : Toán

Bài Nội dung Điểm

1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9

P =     

  



   

   

  

  



  

3 2 2

3 2 3 9 : 9 3 1

x x x x x x

x x

x x

= … =

x  2

2

2. P > 0 

  

  

 

9 ,4 ,0

0 2

x x x

x

 4 0  x

0,5đ.

0,5đ.

2,0đ.

0,5đ.

0,5đ.

Bài 1 (6 đ )

3. P. ( x + 1 ) =  

  

       

  4 2 5 2 3 2

)1 ( 3

x x x

x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max  12 5 6 )1 .(     x P

Chỉ ra dấu bằng  x =  

2 2 5 

1,0đ.

0,5đ.

0,5đ. Bài 2

(4đ)

1. Đặt n2 – 14n – 256 = K2 ( K є N )  ( n – 7 )2 – K2 = 305  ( n – K – 7 )( n + K – 7 ) = 305 = 1.305 = 61.5 Xét các trường hợp: do n + K -7 > n – K – 7 n – K – 7 = 1 và n + K – 7 = 305 => n = 160 n – K – 7 = - 305 và n + K – 7 = -1 => n = -146 ( loại ) n – K – 7 = 5 và n + K – 7 = 61 => n = 40 n – K – 7 = -61 và n + K – 7 = -5 => n = -26 ( loại ) Vậy n = 40, K = 28 hoặc n = 160 , K = 152

2. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a2 và b2

2 2 2 2 2 2 2     ab b a b a

A =           

          b a b a b a b a b a 2 1 2 4 1 2 2

= . Áp dụng BĐT Cô si có   b a b a b a        

    4 2

A   8 2 4 2 2 4 . 2 2          ab b a b a

-> Giá trị nhỏ nhất của A=8 a = b = 1

1,0đ.

0,25đ. 0,25đ. 0,25đ.

0,25đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ.

0,5đ

Bài 3

(2đ) Điều kiện

  

 

 

2012 0

2012 0

y x

Từ 2 phương trình của hệ ta có : y x y x      2012 2012

0,5đ.

ThuVienDeThi.com