Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 - Huyện Ninh Giang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN ĐÀO TẠO NINH GIANG THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT

ĐỀ CHÍNH THỨC 1(4 điểm) Cho biếu thức

x xy y x

y y x x x xy y

y y x x y

y x A   

    

  



 

       2

2 2 4

2 2

2 2 4 4 4 : 2

2 2 Với

2 2 2 ; 2 ;0 ;0 x y y x y x      1. Rút gọn biểu thức A 2. Cho y=1 hãy tìm x để 5 2  A

2(5 điểm) a) Giải phương trình : 2 3 2 6 2 4 4 10 3 x x x x        b)Chứng minh rằng 4n + 15n - 1 chia hết cho 9 với n là số tự nhiên 3(4 điểm)a) Chứng minh rằng   0 3 6 2 4 5 , 2 2        y x xy y x y x f b) Cho x1, x2, x3 là ba số thực thỏa x1x2x3 = 1 Tính: S =

1 3 3 3 2 2 2 1 1 1

1 1

1 1

1

x x x x x x x x x         4)(5 điểm) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn b) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ? Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O 5)(2 điểm) Chứng minh rằng trên tờ giấy kẽ các ô vuông bằng nhau, không thể dựng được một tam giác đều có 3 đỉnh là đỉnh của các ô vuông 1) Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R (M không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tâm O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.

c) Chứng minh : 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn d) Tứ giác AHFK là hình gì ?Vì sao ?

ThuVienDeThi.com

e) Chứng minh đường thẳng HF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn tâm O. a) Các tam giác AEB, AMB vuông ( vì AB đường kính) suy ra A A 0 BEF KMF 90   Gọi C là trung điểm của KF ta có 1 EC CM KF 2  

hay EC CM CK CF    Suy ra 4 điểm F, E, K, M cùng nằm trên một đường tròn tâm C. b) Ta có AE vừa là đường cao vừa là phân giác của tam giác AHK nên AH=AK và HE=EK EC là đường trung bình của tam giác HKF nên EC HF, mà EC= KF nên HF=KF. 1 2  1 2 

K là trực tâm của tam giác FAB nên , mà FK AB  do đó AH//KF suy ra . AH AB  A A KFE EAH  suy ra AH=KF KEF HEA   Do đó AH=AK=KF=EH và nên tứ giác AF HK  AHFK là hình thoi. c) Vì AHFK là hình thoi suy ra HF//AM, mà nên (1) AM BF  HF BF  Mặt khác HK là trung trực của AF hay BH là trung trực của AF nên BF=AB=2R (2) Từ (1) và (2) suy ra HF là tiếp tuyến đường tròn (B; 2R) cố định 2) Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại các điểm D, N, M. Kẻ đường kính DI của đường (O;R). Qua I kẻ tiếp tuyến của đường (O;R) nó cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a, Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. b, Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2. c, Gọi P là trung điểm của BC, Q là giao điểm của AI và BC, K là trung điểm của AD. Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng và AQ = 2KP

a,Biết AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm. Tính chu vi của tam giác AEF. + c/m cho chu vi của tam giác AEF là PAEF = 2AN + c/m cho 2AN = AB + AC – BC = 8 + 11 – 9 = 10 cm + suy ra PAEF = 2AN = 10 cm b,Chứng minh EI. BD = IF.CD = R2. + c/m cho tam giác EOB vuông tại O

C

K

F

E

I

H

M

O B A

ThuVienDeThi.com