Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Hạ Hòa năm học 2015 - 2016 môn Toán - Trường Thcs Xuân Áng

PHÒNG GD-ĐT HẠ HÒA TRƯỜNG THCS XUÂN ÁNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC: 2015 - 2016

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Đề 1 Bài 1 (4đ). a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 49 – 12xy + 9y2

b) Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + 15 là một số chính phương

Bài 2 (4đ) Cho

2

2 1 2 2 4 2 7 10 5 x x x A x x x x           a) Rút gọn A. b) Tìm x nguyên để A nguyên.

Bài 3 (4đ). Giải phương trình

a) 5 2 6 3 2 x x x     

b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23

Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G.

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC. b) ∆ABC ~ ∆AEF

c) A A BDF CDE 

d) H cách đều các cạnh của tam giác DEF

Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y , z khác 0 và đôi một khác nhau sao cho:

x3 + y3 + z3 = 3xyz . Tính giá trị của biểu thức: 2015 2015 2015 A xy yz zx   

Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình 2008 2007  x

-----------Hết----------- Chú ý: - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

- Thí sinh không được sử sụng MTBT.

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC 9

Gợi ý đáp án Điểm

Bài 1a) 4x2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49 =(2x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7)

(1 đ) (1đ)

Bài 1b) x2+7x+10 =x2+5x+2x+10 =x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ) (1đ)

Bài 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5và x ≠2

2 2

2

2

2

1 2 2 4 1 2 2 4 2 7 10 5 2 ( 5)( 2) 5

5 2 (2 4)( 2) ( 5)( 2)

8 15 ( 5)( 3) 3 ( 5)( 2) ( 5)( 2) 2

x x x x x x A x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x x

                    

         

              

(0,5đ)

(2đ)

2b)

, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi ( 2) 1 1 1 2 2 x A x x       

1

2 x  nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.

(1,5đ)

Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau TH1:

1 2 1 0 2 1 3 2 2 2 1 3 2 3

x x x x

x x x

      

     Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình. TH2:

1 2 1 0 2 1 3 2 2 2 1 3 2 5 1 0,2

x x x x

x x x x

      

      Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó không là nghiệm của phương trình. Kết luận phương trình có nghiệm x=3.

(1đ)

(1đ)

Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 (x+5) [x-5 –(2x+3)] = 0 (x+5)(-x-8)=0  x-5=0 hoặc x+8 =0  x=-5 hoặc x=-8

(2đ)

Bài 4a) Ta có BG AB, CH AB, nên BG //CH, tương tự: BH AC, CG AC, nên BH//CG.tứ

(2đ)

F

E

H

A

ThuVienDeThi.com

Gợi ý đáp án Điểm

giác BGCH có các cặp cạnh đối sông song nên nó là hình bình hành. Do đó hai đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M của BC. 4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

chúng đồng dạng. Từ đây suy ra (1) AB AE AB AF AC AF AE AC   

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ABC ~ ∆AEF.

(1,5đ)

4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra ∆BDF~∆DEC . A A BDF CDE 

(1,5đ)

4d)

Ta có

A A A A

A A A A A A

0 0 90 90 BDF CDE BDF CDE

AHB BDF AHC CDE ADF ADE

    

      Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.

(1đ)

Bài 5)Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx

=   2 2 2 2 2 2 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 x xy y y yz z x xz z            

= dpcm       2 2 2 1 2 x y y z x x         

1đ

Bài 6) Điều kiện , bất phương trình 0 x  2008 2007  x

2007 2008 0 x x   

(2008 2007) 0

0

2007 2008

x x

x

x

 …