Dạng đề thi HSG môn thi Toán cấp huyện

DAÏNG ÑEÀ THI HSG Môn thi TOáN CAÁP HUYEÄN

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. ( 2,5 điểm) Cho biểu thức . 1 x 1 x 1 P = x

x x x x

          

   

 :

a) Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P.

b) Tính giá trị của P khi . 2 x =

2 3 

c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức . P. x 6 x 3 x 4   

Câu 2. ( 2,0 điểm)

a) Cho a + b + c = 0 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c     

b) Giải phương trình . x 7 x 5 2    

Câu 3. ( 1,5 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 6 x   

b) Cho x và y thỏa mãn . Tính x + y.    2 2 x x 2011 y y 2011 2011     

Câu 4. (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC

thành hai đoạn BH. CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu

của H trên AB và AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Tính

diện tích tứ giác DENM.

Câu 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC); trung tuyến AM. 

Gọi ; . Chứng minh rằng AACB   AAMB    

2 sin + cos 1 sin .     

------------- Heát -------------

ThuVienDeThi.com

Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 – Năm học 2011 - 2012

Hướng dẫn chấm Môn TOáN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung điểm

1 a

1đ

, ĐKXĐ: 1 x 1 x 1 P x : x x x x

                 

x 0, x 1  

= =  

x 1 x 1 x 1 : x x x 1 x

                  

x 1 x 1 x 1 : x x x 1

  



= : = = x 1 x 

 

x x

x x 1





x 1 x     

x 1

x x 1

x 



 

2 x 1

x



b

0,75đ

Với x = ĐKXĐ, x = 4 2 = 3 2

2 

  3  

2 3 1   x 3 1  

Nên P = = = .  

2 3 1 1

3 1



 1 3

3



  3 3 1

2



c)

0,75đ

ĐK: x 4 

P. = 6 3 x x  4  x

. = 6 3  

2 x 1

x



x x  4  x

= 6 3  

2 x 1  x  4  x

x + 2 + 1 = 6 3 (*)  x x  4  x  

2 x 2 x 4 0    

Do x > 0; , x 4  

2 x 2 0    x 4 0    

Nên để (*) xảy ra thì và x = 4 (TM ĐKXĐ)  

2 x 2 0   x 4 0   

2 a)

1,0 Ta có 2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ab bc ac              

= = =  

2 2 2

2 a b c 1 1 1 a b c abc

     2 2 2 1 1 1 0 a b c    2 2 2 1 1 1 a b c  

2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c              

b

1,0

( ĐKXĐ: x 5) x 7 x 5 2     

(*)  x 7 x 5 2    

ThuVienDeThi.com

N M

E

D

H C B

A

x + 7 = x – 5 + 4 + 4 (do các vế (*) không âm)  x 5 

4 = 8 = 2 x = 9 ( ĐKXĐ)  x 5   x 5   

3 a

0,75

ĐKXĐ A x 2 6 x     2 x 6   A 0  

A2 = x 2 + 6 x + 2 = 4 +   x 2. 6 x      2 x 2 6 x  

Vì Nên A2 hay A    2 x 2 6 x 0    4  2 

- Do đó MinA = 2 x = 2 hoặc x = 6 ( tm ĐK) 

Mặt khác A2 = 4 + + x 2 + 6 – x = 8 (theo Cauchy)    2 x 2 6 x   4  

A2 hay A 8  2 2 

- Do đó MaxA = x 2 = 6 x hay x = 4 (tm ĐK) 2 2   

0,25

0,25

0,25

b

0,75

(hai nhân tử v.trái phải khác 0)    2 2 x x 2011 y y 2011 2011     

Nên   2 2 2 2011 x x 2011 y 2011 y y y 2011        

Tương tự = 2 y y 2011   2 x 2011 x  

Cộng vế theo vế, ta có

x + y + + = + x y 2 y 2011  2 x 2011  2 y 2011  2 x 2011  

2(x + y) = 0 nên x + y = 0 

4 a)

1,0 Ta có Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông nên AH = DE

Mà AH2 = BH.CH ( Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu)

Nên AH2 = 4.9 = 36. Do đó AH = 6 cm nên DE = 6 cm.

b)

1,5

C. minh được: * M là trung điểm của BH nên DM = BH = 2 cm 2 1

* N là trung điểm của HC nên EN = HC = 4,5 cm 2 1

Nên tứ giác DENM là hình thang vuông có 2 đáy 2 cm và 4,5 cm và đường

cao DE = 6 cm.

Do đó SDENM = (DM + EN).DE = (2 + 4,5).6 = 19,5(cm2) 2 1

2 1

ThuVienDeThi.com