Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 2013 - 2014 môn thi Toán - Trường THCS Cao Viên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THANH OAI

Trường THCS Cao Viên

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 - 2014

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 27/11/2013 (Đề thi này gồm 01 trang)

Bài 1: (5,0điểm)

Cho biểu thức 1 1 2x x 1 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x

                      1. Tìm điều kiện xác định và Rút gọn biểu thức A.

2. Tính giá trị của A khi x 17 12 2  

3. So sánh A với . A

Bài 2 : ( 4,0 điểm )

1. Giải phương trình: 3 2 8 1 46 10 5 4 1 x x x x x      

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2 2 8 23 16 44 16 1180 0 x y x y xy      

Bài 3 : ( 4,0 điểm )

1. T ính tổng S = 1 1 1 1 .... 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 2013 2012 2012 2013        

2. Cho ba số dương thoả mãn Chứng minh rằng: , , x y z 1 1 1 1. x y z   

. x yz y zx z xy xyz x y z         

Bài 4 : ( 5,0 điểm )

Cho đường tròn (O; ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là R

một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.

1.Tính A A A A 2 2 2 2 sin sin sin sin MBA MAB MCD MDC   

2.Chứng minh: 2 (2 ) OK AH R AH  

3.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Bài 5: ( 2,0 điểm )

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Vẽ trung tuyến AM của tam giác ABC, góc ACB

bằng α, góc AMB bằng . Chứng minh rằng: sin os 1 sin c      

-------------------------------H ết ----------------------------------------------

ThuVienDeThi.com

phòng Giáo dục & Đào tạo

Thanh oai

H-ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2013 - 2014

Môn thi : Toán

Bài 1:( 4 điểm ) 1) Rút gọn biểu thức (2 điểm)

ĐK :                      

1 1 2x x 1 2x x x x A : 1 x 1 x x 1 x x

   1 x 0;x ;x 1 4

   

    

                     

x 2x x 1 x 1 x 2x 2 x x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x

 

     

     

                    

x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x

                          

2 x 1 1 x : 2 x 1

1 x 1 x x x 1 x

                  

1 x x x 1 x 2 x 1 : 2 x 1 . x 1 x 1 x 1 x x

    

   

  

1 1 : x 1 x 1 x 1 x x

1 x x x

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 0,25

2) Tính giá trị của A khi (1 điểm). x 17 12 2  

Tính    

2 2 x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2           

    1 3 2 2 17 12 2 5 3 2 2 15 10 2 A 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2

            

1,5đ

3) So sánh A với (1 điểm). A

Biến đổi 1 x x 1 A x 1 x x      

Chứng minh được với mọi 1 x 2 x   1 x 0;x ;x 1 4   

  1 A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0 x

A A 0 A A

        

    

1,5đ

Bài 2. (4,0 điểm)

ThuVienDeThi.com

1) ĐK : 1 46 8 10 x  

      

      





3 2 3 2

2

2

2

8 1 46 10 5 4 1 8 1 3 46 10 6 5 4 8

8 1 3 8 1 3 46 10 6 46 10 6

1 4 8 8 1 3 46 10 6 8 1 10 1 1 4 8 8 1 3 46 10 6 1 0 1 8 10 4 8 2 8 1 3 46 10 6

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x x x x

x x x x

             

                                          

Từ (1) suy ra: x = 1 . Từ (2), ta có : x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 4 với mọi x 

10 10 5 46 10 0 46 10 6 6 6 3 46 10 6 10 8 10 8 5 suy ra : 3 46 10 6 8 1 3 46 10 6 8 1 3

x x

x

x x x x

                     

 , với mọi x.  (2) không xảy ra 2 10 8 4 8 46 10 6 8 1 3

x x x x

        Vậy phương trình có nghiệm duy nhất : . 1  x

0,5đ

0,25đ

0,25đ

0,5đ

0,25

0,25đ

2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

2 2 8 23 16 44 16 1180 0 x y x y xy       Biến đổi phương trình đã cho ta được     2 2 8 1 15 2 1248 x y y     

.     2 2 1248 2 2 83 15 y y     

Do đều chia hết cho 8; (15;8)=1 nên là số chính phương&chia hết  

2 8 1 ,1248 x y    

2 2 y 

cho 8 . Ta có các TH …