Đềthi chọn học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn thi Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thanh oai

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2015 - 2016

Môn thi : Toán Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề) Bài I: (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức:

2 3 5 x 7 2 x 3 A : x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x

                a) Rút gọn P

b) Tìm x để A có giá trị nguyên.

2) Tìm số tự nhiên n để chia hết cho 25 2n 3 4n 1 3 2   

Bài II: (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 x 12 x 1 x 36   

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2 2 x 2y 2xy 3y 4 0     

Bài III: (4,0 điểm).

1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

P = 2 2 2 x y z

1 x 1 y 1 z     

2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: . Tính giá trị biểu thức: a b c 2 abc 1    

B =          a 1 b 1 c b 1 c 1 a c 1 a 1 b abc 2015          

Bài IV:(6 điểm) Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE

với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia

AD, AE lần lượt ở B và C.

1) Chứng minh: DC = EB.

2) Chứng minh: DA.DB = R2.

3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt AD,

AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN.

4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị

nhỏ nhất đó.

Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn 2 y x 5x 7 3   

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Nội dung đáp án Điểm Bài I

1) a ĐKXĐ: x > 0, x 4  0,25

Rút gọn = …        

2 2 x 1 3 x 2 5 x 7 2 x 3 A : x 2 2 x 1 5 x x 2

      

   1)a

=…= = …=   

  5 x x 2 2 x 3 .

2 x 3 x 2 2 x 1

 

  

5 x 2 x 1  2,0

Chứng minh A > 0 do và 5 x 0  2 x 1 0 

Lại có A = = 5 x 2 x 1   

5 5 5 2 2 2 2 x 1    0,5

1)b (2điểm)

Suy ra: 0 < A < 2,5

A = 1 => = 1  … x = (thỏa mãn ĐK x > 0, x ) 5 x 2 x 1 

1 9 4 

A = 2 => = 2  … x = 4 (không thỏa mãn ĐK x > 0, x ) 5 x 2 x 1 

4 

Kết luận…

0,5

0,5

0,25

= = 2n 3 4n 1 3 2      2n 4n 2n 2n 4n 27.3 2.2 25.3 2 3 2       n n BS25 2 9 16   02,5

Nếu n lẻ thì Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25 n n 9 16  0,25 Bài I

2) (1điểm)

Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra n n 9 16  tận cùng băng 7 => tận cùng bằng 4 =>A không chia hết cho   n n 2 9 16 

25. Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25

0,25

0,25

ĐK: x 1  0,25

 2 x 12 x 1 x 36    2 x 12 x 1 x 36 0     Bài II

1) (2điểm)    2 x 2x 1 x 1 12 x 1 36 0     

    

2 2 x 1 x 1 6 0        x 7 x 1 . x 1 x 5 0      

Giải pt: vô nghiệm x 7 x 1    Giải pt: ĐK 1 5 x x 1    x 5    … 2 x 11x 24 0    x = 8 (loại) ; x = 3 (chọn)

0,5

0,5

0,5

0,25

Bài II

2)

Biến đổi phương trình x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - 4 = 0 

0.5

ThuVienDeThi.com

(2điểm) (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 0   - 4 y 1 vì y thuộc Z nên y      1;0;1 ;2 ;3 ;4      KL Có 6 cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)

0.5

0.5

0,5

Bài III

1) (2điểm)

Từ điều kiện xy + yz + xz = 1 => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z)

2 x x x 1 x x . x y x z 2 x y x z 1 x

             

Tương tự ; 2 y 1 y y 2 x y y z 1 y

          

2 z 1 z z 2 z x z y 1 z

           Cộng vế các bất đẳng thức

P = 1 y x y z x z 2 x y y x z y y z x z x z                  

3 2

Tìm được dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3 3

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài III

2) (2điểm)

Từ diều kiện:  a b c 2 abc 1     b 2 abc 1 c a   

c 2 abc 1 b a; a 2 abc 1 b c;      

Xét        a 1 b 1 c a 1 b c bc a a 2 abc bc         

 

2 2 a 2a abc abc a abc a abc       

Tương tự….. Khi đó B = a b c 3 abc abc 2015 ... 2016        Kết luận….

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài IV

1) (1,5điểm)

D

E

A

B

C

O

Vẽ hình đúng đến câu a + Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân + Chỉ ra BE = CD

0,25

1,0 0,25 Bài IV

2) (1,5điểm)

Áp dụng hệ thức …