Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2015 2016 môn thi Toán học

TRƯƠNG QUANG AN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016

MÔN THI: TOÁN HỌC (Thời gian làm bài: 150 phút) Ngày thi 10 tháng 01 năm 2015 Bài 1 (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

A =

2

4 4 4 4 8 16 1

x x x x

x x

    

 

Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm)

Giải các phương trình: a. 3 2 2 3 2 3 2 2          x x x x x x b.  

2 4 2 8 3 7 8 x x x x      Bài 3 (1,5 điểm)

a. Cho . 2015 2015 ( ) ( 12 2015) f x x x   

Tính với f (a) 3 3 a 16 8 5 16 8 5     b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x     Bài 4 (1,5 điểm)

a. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 2015

và

2 2 2

2 2 2 a b c a b c b c a c a b     

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ.

b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 2 2 2

3 1 1 1 2 a b c b c a       Bài 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .

2015 2016

2015 2016 BE CE BF DF 

d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K EF; M   BE và N BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp 

tam giác BEF là . Hãy tính các góc nhọn của tam giác BEF? 2 2 2 

ThuVienDeThi.com