Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện Phú Quốc năm học 2013-2014 môn Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2013-2014

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức A với 3

1 2

2

2

6 5

13 2



  

   

 

x

x

x

x

x x

x 0  x

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (5 điểm)

Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8.

- Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48." Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì: a/ A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8. b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 chia hết cho 144. c/ C = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8.

Bài 3: (4 điểm)

1/ Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố. n 1 2

)1 (    n n p

2/ Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3.

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chứng minh rằng IDE là tam giác cân. 

Bài 5: (4 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.

a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành. b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax.

…………….Hết………….

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

Năm học 2013-2014

BÀI Đáp án Biểu điểm Bài 1 (4điểm) a. A với 3

1 2

2

2

6 5

13 2



  

   

 

x

x

x

x

x x

x 0  x

3

1 2

2

2

) 3 )( 2 (

13 2



  

   

 

x

x

x

x

x x

x

2

3

) 3 )( 2 (

) 3 )( 3 (

) 3 )( 2 (

9

) 3 )( 2 (

) 2 )( 1 2 ( ) 3 )( 2 ( ) 13 2 (



   

  

 

 

 

       

x

x

x x

x x

x x

x

x x

x x x x x

b. A      

  1 2

5

2

3

x x

x    

2

5

x

Có hoặc 1 2

5 2 5

2

5 0 0 2 2          

x x x 2 2

5   x

Từ đó tính được: x1 = 9; x2 = 4

1

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

1

0,5

Bài 2 (5điểm)

a) Đặt A = n2 + 4n + 3 = (n2 + n) + (3n + 3)

= n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8.

Suy ra A chia hết cho 8. b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)] = 3[n(n2 - 1) + 3(n2 - 1)] = 3(n2 - 1)(n + 3) = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của 3 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 48. Suy ra B 3.48 = 144.  c) C = n2 + 4n + 5 = (n2 + 4n + 3) + 2 Do n2 + 4n + 3 8 (theo câu a) và 2 8 nên C 8   

0,75

0,5 0,75

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5 Bài 3 (4điểm) 1) 2

) 2 )( 1 ( 1 2

)1 (        n n p n n p

Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1  2k-1=1 k = 1 n = 2; p = 2 (thỏa mãn)    Với n = 2k+1 (ĐK: k ) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1 0   k = 1 n = 3; p = 5 (thỏa mãn)  

2) Ta có b = 1 –a, do đó M = a3 + (1 – a)3

0,5

0,5 0,25 0,5 0,25

0,5

ThuVienDeThi.com

= 3a2 – 3a + 1 = 3a2 – 3a + = 3(a )2 + 4 1 4 3  2 1  4 1 4

1

Dấu bằng xẩy ra khi a . Vậy minM 2 1  2 1 4 1     b a

1

0,5

Bài 4 (3 điểm)

Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200

B1 + C1 = 600 

BIC = 1200 

I1 + I2 = 600 

Vẽ phân giác IK của góc BIC

I3 = I4 = 600  Khi đó: BIE = BIK (g-c-g)   CID = CIK (g-c-g)  

IE = ID (cùng bằng IK) 

IDE cân tại I (đpcm) 

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 5 (4 điểm)

a) Ta có OMAC; BCAC  OM//BC hay OM//BN (1) Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g)  OM=BN (2) Từ (1) và (2)  OMNB là hình bình hành b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AHMC Lại có: OCMC (MC là tiếp tuyến của (O) Suy ra: AH//OC (3) Tương tự: OA//CH (4) Từ (3) và (4)  AHCO là hình bình hành

AH=OC Mà OC=R nên AH=R Ngoài ra: A cố định. Do đó: H di động trên đường tròn cố định tâm A, bán kính R.

0,5

0,5 0,5

0,5

0,25 0,25

0,5 0,5

ThuVienDeThi.com