Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Tư Nghĩa năm học 2015-2016 môn Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TƯ NGHĨA NĂM HỌC: 2015-2016 Môn: Toán – Lớp 9 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Ngày thi: 1 tháng 11 năm 2015

ĐỀ BÀI Bài 1: (4điểm)

Cho P = + 2 3

2 2

 

  

x x x

x x x x

2 3

2 2

 

  

x x x

x x x x

1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất Bài 2: (4 điểm) 1. Giải phương trình

= 4 x x

x x

2 3 3

1 3 5

  

  

2. Tìm số nguyên x, y thỏa mãn a2016 + a1008 b1008+ b2016 = a2016b2016 Bài 3: (4điểm)

1. Cho a = x + ; b = y + ; c = xy + x 1

y 1

xy

1

So sánh giá trị biểu thức A = a2 + b2 + c2 – abc với 2015

1

2. Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta luôn có.

3(x2 - ) < 2(x3 - ) 2 1 x 3 1 x Bài 4: ( 4 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD = BC; AB < CD. Gọi I, Q, H, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD 1. Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD, BC hai góc bằng nhau. 2. Về phía ngoài tứ giác ABCD, dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng. Bài 5: (2 điểm) Tam giác ABC có BC = 40cm, phân giác AD dài 45cm,đường cao AH dài 36cm.Tính độ dài BD, DC.

Bài 6: (2 điểm) Với a, b là các số thực thỏa mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = . 4 9

Hãy tìm GTNN của

P = + 4 1 a  4 1 b 

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TƯ NGHĨA NĂM HỌC: 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Câu Tóm tắt cách giải Điểm

1

2,5 đ

Điều kiện x > 0; x 1; 4 

P = + 2)1 )( 2 (

)1 )( 1 )( 2 (

 

  

x x

x x x

2)1 )( 2 (

)1 )( 1 )( 2 (

 

  

x x

x x x

= + 1

1





x

x

1

1





x

x

= 1

)1 ( 2



 x

x

P > 1 > 1 - 1 > 0  1

)1 ( 2



 x

x  1

)1 ( 2



 x

x

> 0  1

1 2 2



  

x

x x

> 0 Theo đ/k x > 0 x + 3 > 0  1 3   x x 

x – 1 > 0 x > 1  

Kết hợp điều kiện x > 0; x 1; 4 

Suy ra x > 1; x 4 thì P > 1 

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

1

(4 điểm)

2

1,5 đ

P = = 2 + Với x > 0; x 1; 4 1

)1 ( 2



 x

x

1 4

 x 

P nguyên x – 1 là ước của 4 

P đạt giá trị nguyên lớn nhất x – 1 = 1 x = 2  

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x =2

0,5

0,5

0,5

2

1

2 đ

Điều kiện x – 3 + 0 x 2 3  

Phương trình tương đương

- - 4 - 4x + 12 = 0 ( ) 5 3  x 1  x 3 2  x 

Xét x < - Thì ( ) - 3x + 5 + ( x – 1) + 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 2 3 

2x = -28 

0,25

0,5

ThuVienDeThi.com

x = - 14 ( Thỏa mãn đk) 

Xét - ≤ x < 1 Thì ( ) - 3x + 5 + x – 1 – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 2 3 

x = ( Thỏa mãn đk)  7 2

Xét 1≤ x < Thì ( ) - 3x + 5 – (x -1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 3 5 

x = ( loại)  8 3

Xét x ≥ Thì ( ) 3x – 5 – (x – 1) – 4(2x + 3) – 4x + 12 = 0 3 5 

x = - (Loại)  5 2

Vậy phương trình có nghiệm x 

  7 2 ; 14

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

(4 điểm)

2

2 đ

Đặt y=b1008 ; x=a1008 Theo cách đặt thì x,y>0 Ta có x2 + xy + y2 = x2y2

(x + y)2 = xy(xy + 1) 

+ Nếu x + y = 0 xy(xy + 1) = 0  



  

1 0 xy xy

Với xy = 0 . Kết hợp với x + y = 0 x = y = 0 

Với xy = -1. Kết hợp với x + y = 0 hoặc 

  

  

1 1 y x

  



 

1

1 y x

+ Nếu x + y 0 (x + y)2 là số chính phương   xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố cùng nhau. Do đó không thể cùng là số chính phương Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (a; b) = (0; 0)

0,5

0,5

0,5

0,5

3

1

2 đ

. a2 = x2 + + 2 2 1 x

b2 = y2 + + 2 2 1 y

c2 = x2y2 + + 2 2 2

1

y x

ab = (x + )(y + ) = xy + + + = c + + x 1

y 1

xy

1

y x

x y

y x

x y

abc = (c + + ).c  y x

x y

0,5

ThuVienDeThi.com