Đề thi chọn HSG vòng huyện Tân Hiệp cấp THCS năm học 2013 - 2014 môn Toán

PHÒNG GD&ĐT TÂN HIỆP KỲ THI CHỌN HSG VÒNG HUYỆN CẤP THCS

ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2013 - 2014

Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n) n n 77 77 2  

Bài 2: (2,5điểm) Tìm các giá trị nguyên của x,để phân thức sau có giá trị là số nguyên:

A  3

8 6 2 2 3



  

x

x x x

Bài 3: (3,5điểm) Cho biểu thức :

P  

  



 

  

  

  

  



   

6

9

3

2

2

3 : 9 3 1

x x

x

x

x

x

x x

x x

a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 1 Bài 4: (3điểm) Hãy xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) của hàm số bậc nhất:

y ( ) 2 1    x m

m m 0 ;1    m

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC (góc B là góc tù),và ba đường trung tuyến AD =36 cm, BE=15cm, CF=39cm.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC,và K là trung điểm của GC. a) Chứng minh: AD DK  b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 6: (5điểm) Cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b tại H. Trên đường thẳng a lấy điểm T,trên đường thẳng b lấy điểm A.

a) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng a tại T và đi qua A. b)Vẽ đường kính AC.Tia CT cắt đường thẳng b tại B.Chứng minh tam giác ABC cân.

c) Cho AH = h, HT = x. Tính bán kính R của đường tròn theo h và x. HẾT

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD & ĐT TÂN HIỆP. KÌ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG HUYỆN Đề chính thức Năm học: 2013-2014 Đáp án Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kề thời gian giao đề)

Bài Nội dung Thang điểm Chứng minh:

chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n) n n 77 77 2  

n n 77 77 2      1 77 77 77 77 . 77 2 2    n n n 1

1

.76.78 chia hết cho 76 và 78    1 77 1 77 77    n  n 77 Vậy chia hết cho 76 và 78 (với mọi số nguyên n) n n 77 77 2  

1

A  3

8 6 2 2 3



  

x

x x x

3 5 1 2 2

    x x

Để A có giá trị là số nguyên thì phải có giá trị là số nguyên 3 5  x x-3 là các ước của 5 

1

0,5

2

hay: 2 1 3      x x 4 1 3     x x 8 5 3     x x 2 5 3       x x Vậy: thì A có giá trị là số nguyên 8;4;2;2   x 1

3 a) Rút gọn biểu thức P:

ĐK: (*) 4 ,9 ,0    x x x

P  

  



 

  

  

  

  



   

6

9

3

2

2

3 : 9 3 1

x x

x

x

x

x

x x

x x

 

  



 

       

  





 

) 3 )( 2 (

9 ) 2 ( ) 3 )( 3 ( : 9

9 3 2

x x

x x x x x

x

 

  



 

  

  



 

 

) 3 )( 2 (

) 2 ( : ) 3 )( 3 (

) 3 ( 3 2

x x

x x x

x

2 3 2 3 . 3 3

   

  



  

 



 

x x x x

0,5

1

0,5

0,5

b) Tìm các giá trị của x để P = 1

P (Thỏa mãn đk (*)) 25 5 3 2 1 2 3           x x x x

1

ThuVienDeThi.com

Xét tính biến thiên(đồng biến và nghịch biến) của hàm số bậc

nhất: y ( ). 2 1    x m

m m 0 ;1    m

Hàm số xác định với mọi R  x

Xét dấu của : Có thể lập bảng: 1  m

m

m - -1 - 0 + m+1 - 0 + 1 +

1  m

m + | - 0 +

0,5

0,5

4

y có dạng y .Ta có: , 2 1    x m

m 2  ax 2 1 1  ax y 2 2 2  ax y

Cho - 2 1 x x   2x 0 1 x -Nếu a thì hàm số đồng biến. 0  0 ) ( 1 2 1 2     x x a y y -Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến 0 ) ( 1 2 1 2     x x a y y Vậy hàm số đồng biến khi m < -1 và m > 0 và hàm số nghịch biến khi -1< m < 0

0,5

0,5 0,5

0,5

Hình vẽ:

F

K

E

D

G

C B

A

a)Chứng minh AD DK: 

Ta có ); ( 10 15 3 2 3 2 ); ( 12 36 3 1 3 1 cm BE BG cm AD DG        

) ( 26 39 3 2 3 2 cm CF GC    

0,5

0,5

5

DK là đường trung bình tam giác BGC nên:

và ) ( 5 10 2 1 2 1 cm BG DK     ) ( 13 26 2 1 2 1 cm GC GK    

Tam giác DGK có 2 2 2 2 2 2 13 12 5 GK DG DK      vuông tại D, hay AD DK  DGK  

0,5

0,5 0,5

ThuVienDeThi.com