Đề thi học sinh giỏi Toán 9 (thời gian 150 phút) năm học 2015 2016

Trường THCS ĐỖ ĐỘNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN: 9 (Thời gian 150 phút)

Năm học 2015 – 2016

Câu 1: (6 điểm)

1. Cho  

  



   

  

  





   

2 2

2 : 1

3

1

3

x

x

x x

x x

x

x A

a. Rút gọn A b. Tìm giá trị x khi 1   x A

c. Tính giá trị A khi 27 125 9 3 27 125 9 3        x

2. Cho chứng minh rằng * N n 

chia hết cho 14 n n n n A 2 2 3 2 11 2     Câu 2: (4 điểm) 1. Giải phương trình

1000 8000 1 1000 2     x x x 2. Cho và 0 ,0 ,0    Z y x 20 3 2    z y x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z y x z y x P 4 2

9 3      

Câu 3: (4 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn

xy y x y x y       2 2 2 2 1 2 2. Cho a, b, c > 0 chứng minh

b a

c a c

b c b

a a c

c c b

b b a

a

           Câu 4: (5 điểm)

Cho BC là 1 dây cung của (o) bán kính R ( . Một điểm A di động trên ) 2 ( R BC  cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong . Các đường cao AD, BE, CF cắt ABC  nhau ở H. a, Chứng minh đồng dạng với ? AEF  ABC  b, Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2 A’O? c, A1 là trung điểm của EF. Chứng minh RAA1 = AA’ . OA’? d, Tìm vị trí điểm A để chu vi có giá trị lớn nhất? DEF  Câu 5: (1 điểm)

Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của 2 dội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ?

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Điểm 1.

a, Rút gọn A:

1

4

 

x

x A

b, Tìm x / A = 1  x

5 4 9 4 1 1 1

4           x x x x x

x

c, Tính được 1  x

2 2 4   A

2 điểm

1 điểm

1 điểm

6 đ 2. n n n n A 2 2 3 2 11 2    

n n n n 9 11 4 2    

7 :) .7 .7 (

). 2 9 ( ). 4 11 (

) 2 9 ( 4 11

C B

C B

n n n n

 

   

   

A là số chẵn

14

2   A A  

1 điểm

1 điểm

1.Giải phương trình

1000 8000 1 1000 2     x x x Đặt y x 2 1 8000 1   

x y y

y y x

y x

8000 4 4

1 4 4 8000 1

1 2 8000 1

2

2

 

    

   

x y y 2000 2   

Ta có

x y y

y x x

2000

2000

2

2

 

 

   0 2000 1       y x y x    0 1999     y x y x Từ hệ phương trình suy ra

      0 2001

2000

2 2

2 2

   

    

y x y x

y x y x y x

y x

y x

y x

y x

 

  

   

  

0

0 1999

0

Ta được   0 2001 2000 2      x x x x x (Loại) 0  x

2001  x Vậy phương trình có 1 nghiệm 2001  x

ThuVienDeThi.com

2.

z y x z y x P 4 2

9 3      

                  

  

           4 3 2 4 4 4 1 2

9 2 1 4 3 3 z y x z z y y x x Áp dụng BĐT cô si

 

13

5 3 2 4 1 4 3 2 4

2 4 4 1

3 2

9 2 1

3 3 4 3

 

     

 

 

 

P

z y x z y x

z z

y y

x x

Min P = 13 x = 0 y = 3 z = 4

2 điểm

3

1.Tìm nghiệm nguyên

  1 2 1

1 2 2

2 1 2

2

2 2 2

2 2 2

    

      

      

x y y x

y x x y xy y x

xy y x y x x y

 1 1   x 1 1    x 1 2 2     x y y 1 2 2      y x y   1;0 ; 1;2 ;   y x

2.Áp dụng BĐT cô si

   

   

c b a

a c b

a

c b a

a

c b a

a

c b a c b a

c b a c b a

    

         

    

2

2 1 2

0 2

Tương tự

 1 2

2

2

      

   

   

b a

c a c

b c b

a

c b a

c b a

c

c b a

b a c

b

2 điểm

1điểm

ThuVienDeThi.com