Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2013-2014

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎi TOÁN 9

Năm học 2013-2014. Thời gian: 150 phút. Bài 1. (5 điểm)

Cho biểu thức: P =  

  





  

  

  

   

  



1

1

1

1 . 1 1 1

x

x

x

x

x x x x

x x

x x

x x

với x > 0; x 1.  1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P. 2. Tính P khi x = . 5 4 9 5 4 9   

3. Tìm x để P < . 2 21

Bài 2. (4 điểm)

1. Cho x, y là 2 số thực dương thoả mãn:

(x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1. 2. Giải phương trình:

.2 2 2

2

2 2

2   

   



x

x

x

x

Bài 3. (4 điểm)

1. Cho Tính giá trị biểu thức .1       b a

c a c

b c b

a

Q = . b a

c a c

b c b

a

    

2 2 2

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0. Bài 4. (6 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O, R). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn đó (B,C là 2 tiếp điểm, D nằm giữa A và E). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

1. Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc 1 đường tròn. 2. Chứng minh AH.AO = AD.AE. 3. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Biết OA = 6cm; R = 3,6cm. Tính chu vi AMN.  4. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB,AC lần lượt tại I và K. Chứng minh MI + NK IK.  Bài 5. (1 điểm)

Cho x, y R, x 0, y 0. Chứng minh:   

.  

  

     x y y x x y y x 3 4 2

2

2

2

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Năm học 2013-2014.

Môn thi: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 điểm)

1. P =

      1 . 1

1 1 . 1

)1 (

)1 )( 1 (

)1 (

)1 )( 1 (

2 2

 

     

    

  

x x

x x

x

x

x x

x x x

x x

x x x

= ..... = .)1 ( 2

x

x x  

2. Tĩnh x = ..... = 4 Thay x = 4 tính P = 7

3. P < và x > 0, x 1. 2 21  2 21 )1 ( 2   

x

x x 

.... < 0   )1 4 )( 4 (   x x

Lập bảng xét dấu .... Kết luận < x < 4 và x 1. 4 1 

2đ

0,5đ

1đ

1đ

0,5đ

Bài 2 (4 điểm)

1. (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. .... x2 + y2 + 1 + 2xy + 2x + 2y + 5x + 5y + 5 + 4 = - y2   (x + y +1)2 + 5(x + y +1) + 4 = - y2  A2 + 5A + 4 = - y2  Vì - y2 0 nên A2 + 5A + 4 0.   (A + 1)(A + 4) 0  

-4 .   

 

 

0 4

0 1

A

A  1   A

Vậy maxA = -1, minA= -4. 2. ĐK 0 < x 4  Đặt = a, = b a2 + b2 = 4. (a > 0, b > 0) x  2 x  2 

 .2 2 2

2 2

    b

b

a

a

.........   ) 2 )( ( ) 2 ( 2 ab b a ab     Vì a > 0, b > 0 2 + ab > 0  a - b = a2 - 2ab - b2 = 2 2ab = 2 ab = 1  2      1 2 2    x x

(TM).  3 1 4 1 4        x x x

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

ThuVienDeThi.com

Bài 3 (4 điểm)

1. Ta có a + b + c vì nếu a + b + c = 0 thế vào giả thiết ta có 0 

(vô lí). 1 3 1          c c b b a a

Khi a + b + c ta có 0 

. ) ( c b a c b a b a

c a c

b c b

a             



c b a b a

c b a

b a c a c

b a c

a c b c b

c b a c b

a      

    

  

   

2 2 2 ) ( ) ( ) (

+ a + b + c = a + b + c 

b a

c a c

b c b

a

    

2 2 2

= 0 Q = 0. 

b a

c a c

b c b

a

    

2 2 2



2. Giải phương trình nghiệm nguyên. 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0.

......... (2x + y + 1)(x + y + 1) = -1   2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1

TH 1:

  

   

  

1 1

1 1 2

y x

y x 4 ,2 ......      y x

TH 2:

  

  

   

1 1

1 1 2

y x

y x 2 ,2 ......      y x

Kết luận (x,y) = (2; -4) hoặc (-2; 2)

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,75đ

0,5 đ

0,5 đ

0,25 đ Bài 4

1,25đ

0,75đ

0,75đ 0,25đ 0,5đ

D

K

I

N

M

H

C

B

O

A

E

ThuVienDeThi.com