Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2012 2013 môn Toán 9

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-----------------------------

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức sau:

a) 11 2 30 11 2 30 5     A b)   2 3 5 4 15 4 15       B

2. Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 77 là hai số chính phương.

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau:

7 4 5 3 x 8 y 7

5 3 13

6 x 8 y 7

             

2. Cho hai hàm số bậc nhất: y = (m + 3)x + 2m + 1 và y = 2mx – 3 m – 4 có đồ thị tương ứng là (d1) và (d2).

a) Xác định m để (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung. b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3. (1,75 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng xy tiếp xúc với nửa đường tròn đó tại C (C khác A và B). Từ A và B vẽ AM và BN vuông góc với đường thẳng xy tại M và N. Gọi D là hình chiếu của C trên AB. Chứng minh rằng CD 2 = AM.BN.

Bài 4. (2,25 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn đường kính AH cắt đường tròn (O), cạnh AB, cạnh AC lần lượt tại M, D, E. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại K.

a) Chứng minh ba điểm A, M, K thẳng hàng.

b) Chứng minh bốn điểm B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn.

Bài 5. (2,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x 2 + y2 – 13(x – y) = 0

2. Cho x > 0, y > 0 và x + y  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6 10 P 2x 3y x y    

===========Hết==========

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THỦY NGUYÊN

-------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI KHỐI LỚP 9

Môn thi: Toán học

Bài 1. (2,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức sau:

a) 11 2 30 11 2 30 5     A b)   2 3 5 4 15 4 15       B

2. Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 77 là hai số chính phương.

Câu Đáp án Điểm

1a 11 2 30 11 2 30 6 2 30 5 6 2 30 5 5 5

6 5 6 5 6 5 6 5 2 5 2 5 5 5

         

         

A

0,25

0,5

1b

 

     

 

2 2 2

6 2 5 8 2 15 8 2 15 2 3 5 4 15 4 15 2 2 2 2

5 1 5 3 5 3 2 2 2 2

5 3 5 3 2 5 2 5 1 10 2 2 2 2 2

                                                     

B

0,25

0,25

0,25

2 Vì n + 12 và n – 77 là hai số chính phương

Đặt n + 12 = a2 ; n – 77 = b2 (a, b  N và a > b)

Suy ra a2 – b2 = 89  (a – b)(a + b) = 89

Ta có a, b  N và a > b suy ra a – b, a + b  N và 0 < a – b < a + b

Do đó ta có : a b 1 a 45 a b 89 b 44             

Khi đó n + 12 = 452 n = 2013

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com

Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau:

7 4 5 3 x 8 y 7

5 3 13

6 x 8 y 7

             

2. Cho hai hàm số bậc nhất: y = (m + 3)x + 2m + 1 và y = 2mx – 3 m – 4 có đồ thị tương ứng là (d1) và (d2).

a) Xác định m để (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung. b) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua một điểm cố định.

Câu Đáp án Điểm

1 ĐK : x > 8 ; y > -7

Đặt 1 u

x 8 



và 1 v

y 7 



(u, v > 0)

Ta có :

5 1 7u 4v u 3 3 13 1 5u 3v v 6 6

                    

Do đó ta có :

1 1 3 x 17 x 8 1 1 y 29 6 y 7

               

(TMĐK)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (17 ; 29)

0,25

0,25

0,25

0,25

2a Do hai hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất nên

m 3 0 m 3 2m 0 m 0            

(*)

Để (d1) và (d2) cắt nhau m 3 2m m 3      Hoành độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của phương trình

(m + 3)x + 2m + 1 = 2mx – 3m – 4 5m 5 x (do m 3) m 3      Do (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi hoành độ giao điểm là số dương, tức là

5m 5 0 (5m 5)(m 3) 0 m 1 m 3          hoặc m > 3.

Vậy để (d1) cắt (d2) tại một điểm nằm bên phải trục tung khi m - 3 và m < - 1 hoặc m > 3.

0,25

0,25

ThuVienDeThi.com