Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3) năm học 2008 - 2009 môn Toán

1

Phòng GD-ĐT nga Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 3) năm học : 2008 - 2009

Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)

Bài 1 ( 3,0 điểm)

Cho các số dương: a; b và x = . Xét biểu thức P = 1 2

2  b

ab

b x a x a

x a x a

3

1    

  

1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2 (3,0 điểm)

Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:







   

   

   

x z z

z y y

y x x

3 6 2 3

2 4 2 3

2 2 3

3

3

3

Bài 3 ( 3,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương n ≤ 2008, đặt Sn = an +bn , với a = ; b = . 2

5 3

2

5 3

1. Chứng minh rằng với n ≥ 1, ta có Sn + 2 = (a + b)( an + 1 + bn + 1) – ab(an + bn) 2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, Sn là số nguyên.

3. Chứng minh Sn – 2 = . Tìm tất cả các số n để Sn – 2 là

2

2

1 5 2

1 5

  



  



 

  

    

  

 

n n

số chính phương. Bài 4 (5,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O1) và N là tiếp điểm thuộc (O2).

1. Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB. 2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) ë C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Bài 5: (4®): Cho ABC đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự . Là E , F , N .

a) Chứng minh : AN

AM AF AC AE AB 2  

b) Giả sử đường thẳng d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đường thẳng KN cắt AB tại P đường thẳng KM cắt AC tại Q.

Chứng minh PQ//BC. Bài 6: (2 điểm) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : a c c b b a c b a 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2      

------------- Hết-------------

ThuVienDeThi.com

2

hướng dẫn chấm: Đề số 3 Câu 1. (3,0 điểm)

Tóm tắt lời giải Điểm 1. (2.0 điểm) Ta có: a; b; x > 0 a + x > 0 (1) 

Xét a – x = (2) 0 1

)1 (

2

2

   b

b a

Ta có a + x > a – x ≥ 0 (3)  0     x a x a Từ (1); (2); (3) P xác định  Rút gọn:

Ta có: a + x = 1

)1 ( 1 2

2

2

2     

b

b a b

ab a 

1 )1 ( 2    

b

a b x a

a - x = 1

)1 ( 1 2

2

2

2     

b

b a b

ab a 

1 1 2    

b

a b x a

P =  b b b

b b

b

b

a b b

a b

b

a b b

a b

3

1 1 1

1 1

3

1

1 1 1 )1 (

1 1 1 )1 (

2 2

2 2

   

         

    

 Nếu 0 < b < 1 P =  b b b 3

4 3

1 2

2  

 Nếu b P = 1   b b b b 3

1 3 3

1 2   

2. (1.0 điểm) Xét 2 trường hợp:

 Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = P  b 3

4 4 3 

 Nếu b , a dương tuỳ ý thì P = 1  3 2 3

1 3 3

1 b b b b b          

Ta có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 3 2 3

1 3  b b

Mặt khác: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 3 2 3 2  b

Vậy P , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1 3 4 3 2 3 2   

KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 3

4

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 2 (3,0 điểm)

Tóm tắt lời giải Điểm Biến đổi tương đương hệ ta có







   

   

   

) 2 ( 3 )1 )( 2 (

) 2 ( 2 )1 )( 2 (

2 )1 )( 2 (

2

2

2

x z z

z y y

y x x

Nhân các vÕ của 3 phương trình với nhau ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

1,00

0,50

ThuVienDeThi.com