Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Văn Giang Năm học 2015 - 2016 Môn thi Toán 9

Phòng Giáo dục - đào tạo huyện Văn Giang

§Ò chÝnh thøc

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 21/10/2015 ----------------------------------------------------

Bài 1 (3 điểm):

Cho biểu thức 2 1 2 1 . 2 1 2 1 2 1

+ −+ − − = − + −+ − −

x x x x P x x x x x

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng nếu 1 2 ≤ ≤ x thì P là số vô tỉ.

Bài 2 (2 điểm):

a)Tìm các số tự nhiên n sao cho ( )( )( ) 1 2 3 2 n n n n + + + + là số chính phương

b) ìm các số tự nhiên x, y lớn hơn 1 thỏa mãn cả hai ñiều kiện x+1 chia hết cho y

và y+1 chia hết cho x.

Bài 3 (2 điểm):

a) Cho 0 90 < < O O α . Chứng minh: 2 2 2020sin 2016cos 4sin 2015 + − ≥ α α α

b) Giải phương trình 1 4029 8056 −+ − = x x

Bài 4 (2 điểm):

a) Đảo Trường Sa lớn có dạng hình một tam giác vuông, cạnh huyền nằm theo

hướng Đông Bắc- Tây Nam. Đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác này thành hai

phần có diện tích bằng 2 54000m và 2 96000m . Tính ñộ dài cạnh huyền của tam giác

vuông này.

b) Cho tam giác ABC, A và B cố ñịnh, C là ñiểm chuyển ñộng trên nửa mặt phẳng

bờ AB. Dựng các hình vuông AMNC và BPQC ở phía ngoài tam giác ABC, gọi O là trung

ñiểm của PM. Chứng minh tam giác OAB cố ñịnh khi C thay ñổi.

Bài 5 (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 2 2 3 3 + + = a b c abc .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 6 4 3 2 = + + + + + P a b c a b c .

-------------------------Hết---------------------------- Họ và tên thí sinh:......................................................... Chữ ký của giám thị số 1 :...........................................

Số báo danh:.....................Phòng thi số:.......................

ThuVienDeThi.com

Phòng Giáo dục - đào tạo huyện Văn Giang ––––––––––––

§Ò chÝnh thøc

H−ớng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán 9 Ngày thi: 21/10/2015 ---------------------------------------------------- I. H−ớng dẫn chung

1) H−ớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các b−ớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong

bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng

phần nh− h−ớng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong h−ớng dẫn phải đảm bảo

không sai lệch với h−ớng dẫn chấm và đ−ợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.

4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đ−ợc làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Bài Nội dung Điểm

a, ĐKXĐ 1 x ≥ 0,25

Vì P>0 ta có

( ) ( )

2 2

2 2 4 4 . 2 1 . 2 1 1 2 1

x x x x x P x x x x x x x

+ − + − + = − = − + − + − +

0,75

- Với x>2 thì 2 2 P x = − 0,5

- Với 1 2 2 x P ≤ ≤ ⇒ = 0,5

b, Với 1 2 x ≤ ≤ thì 2 P = 0,25

1

3ñ

Do 2 là số tự nhiên không chính phương ⇒ 2 là số vô tỉ

Vậy nếu 1 2 x ≤ ≤ thì P là số vô tỉ

0,75

a, Đặt A= ( )( )( ) 1 2 3 2 n n n n + + + +

- Biến ñổi A ta ñược ( )

2 2 3 1 1 A n n = + + + 0,25

Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 2 n n A n n + + < < + + 0,25

- Do ñó A không phải là số chính phương. 0,25 Vậy không tìm ñược giá trị nào của n ñể ( )( )( ) 1 2 3 2 n n n n + + + + là số

chính phương.

0,25

b, Giả sử 1 x y < ≤ . Đặt ( ) * 1 x ky k N + = ∈ 0,25

Ta có 1 1 2 2 1 ky x y y y y k k = + ≤ + < + = ⇒ < ⇒ = 0,25

2

2ñ

Với k=1, thay vào x+1=ky ta có x+1=y

ThuVienDeThi.com