Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2014-2015 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Lớp 9 THCS năm học 2014-2015

Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang ----------------------------------------------------------- Câu 1 (3,0 điểm)

a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . 2 2 2      y x xy y x

b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96        

3 3 3 3 c b a a c b c b a c b a           

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 2 1 1 1 2 1 1 1

2

         

   n n n n

b) Tính tổng

2 2 2 2

2016

1 2014

1 1 ..... 5 1 3 1 1 4 1 2 1 1 3 1 1 1                                     S

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

2 2 2 2 x x x x    b) Giải hệ phương trình

    



 

    

    

0 6 2 4

1 2 1 1

2 2

2 2

y x y x

xy x y y x

Câu 4 (7,0 điểm)

Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O; R) ,( BC<2R),A là điểm di động trên cung lớn BC,( A không trùng B,C). Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC;EF cắt BC tại P ,qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AC tại Q và cắt AB tại R .

a) Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp

b) Gọi M là trung điểm cạnh BC .Chứng minh hai tam giác EPM,và DEM là hai tam giác đồng dạng.

c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn 3 2 2 2    z y x

Chứng minh rằng xz yz xy xy

z

xz

y

yz

x     

3 3 3

------------------------------------ Hết --------------------------------------

Hướng dẫn

Câu 1 (3,0 điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

a)Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: . 2 2 2      y x xy y x

b) Chứng minh rằng với ba số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng một số lẻ và hai số chẵn ta luôn có Chia hết cho 96        

3 3 3 3 c b a a c b c b a c b a           

Hướng dẫn a)

6 )1 ( )1 ( ) (

6 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

      

           

y x y x

y x xy y x y x xy y x

PT có 6 nghiệm và 3 hoán vị       0;1 ; 2;3 ; 0;2 ) ; (   y x

Đặt a+b-c =z; b+c-a=x; a+c-b=y thì x+y+z=a+b+c

Ta có   ) )( )( ( 3 3 3 3 3 z x z y y x z y x z y x         

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có 2 1 1 1 2 1 1 1

2

         

   n n n n

d) Tính tổng

2 2 2 2

2016

1 2014

1 1 ..... 5 1 3 1 1 4 1 2 1 1 3 1 1 1                                     S

Hướng dẫn a)

2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 1 1 1 ) 2 (

2 2 2 2 ) 2 (

1 1 1 2 1 1 1

) 2 (

2 ) 2 (

4 ) 2 (

1 1 1 ) 2 (

2 ) 2 (

1 1 1 2 1 1 1

     

                  

  

                   

  

n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

Nên 2 1 1 1 2 1 1 1

2

         

   n n n n

b) 2016

1 2015

1 2 1 2015 2016

1 2004

1 1 ..... 5 1 3 1 1 4 1 2 1 1 3 1 1 1                  S

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

2 2 2 2 x x x x    b) Giải hệ phương trình

    



 

    

    

0 6 2 4

1 2 1 1

2 2

2 2

y x y x

xy x y y x

Hướng dẫn

a) ĐKXĐ:  





 

    

 

 

2 2 1

0

0 ) 2 (

0 )1 2 (

x

x

x x

x x

ThuVienDeThi.com