Đề thi chọn HSG lớp 9 cấp huyện năm học 2015 - 2016 môn Toán - Trường Thcs Kim An

PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI

TRƯỜNG THCS KIM AN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN

Năm học: 2015 - 2016

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI

Câu 1 (6 điểm)

Cho P = .  

  



   



4 3 2 3

3

8 3 3

4 6

3 x x

x

x

x

  

   



   x x x 3 3 1

3 3 1 3

a, Rút gọn P. b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2 (4 điểm) a, Giải phương trình: + = x + 4 x 3 2  x

b, Cho 00 < < 900 và sin + cos . Tính tan    5 7  

Câu 3 (3 điểm) a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1 Chứng minh rằng: . 2       ab c ac b bc a

b, Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của . x x x A 5 1   

Câu 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC có , kẻ đường cao AH (H thuộc BC). v A 1  

Vẽ đường tròn ( I; ) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp 2 AH

tuyến với đường tròn ( I; ), chúng cắt BC lần lượt tại E và F. 2 AH

Chứng minh rằng:

a, PE// QF. b, AB . AP = AQ . AC c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF. d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900. Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất. Câu 5 (1 điểm) Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức: 2012x2015 + 2013y2018 = 2015.

---------------- Hết --------------

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9

Năm học: 2015– 2016 Câu Nội dung Điểm

a, P = . đk:  

  



   



4 3 2 3

3

8 3 3

4 6

3 x x

x

x

x

  

   



   x x x 3 3 1

3 3 1 3



 





3 4 0

x

x

P = .   





 





   



4 3 2 3

3

8 3

4 6

3 x x

x

x

x 

 





 





   x x x 3 3 1

3 1

3

P = .      4 3 2 3 2 3

2 3 3 4 6

  

  

x x x

x x x   

 

  

  

   x x

x x x 3 3 1

3 3 1 3 1

P = . (1 - + 3x - )    4 3 2 3 2 3

3 2 3 4 6

  

  

x x x

x x x x 3 x 3

P = . (3x - 2 + 1)    4 3 2 3 2 3

4 3 2 3

  

 

x x x

x x x 3

P = . ( - 1)2   2 3

1

 x

x 3  

2 3

1 3

2

  

x x

1 (6 điểm)

b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Ta có P  

2 3

1 3

2

  

x x    

2 3

1 2 3 2 2 3

2



    

x

x x

P = ( - 2) + 2 + x 3

2 3

1

 x

P = + x 3

2 3

1

 x

Để P có giá trị nguyên thì (2)   

 

 

 

U x

Z n n x

)1( 2 3

) ( 3 2

Từ (2) có

  



  

 

1 2 3

1 2 3

x

x

  





 

1 3

3 3

x

x

 







  ) ( 3 1

) ( 3

loai x

TM x

Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.

2 (4 điểm)

a, Giải phương trình: + = x + 4 điều kiện: x -3 x 3 2  x  = 2x + 8  3 4 2   x x 2x + 8 - = 0  3 4 2   x x (x - + 1) + x + 3 - 4 + 4 = 0  x 2 3  x = 0   

2 2 2 3 1     x x

x=1 (thỏa mãn)      

 

  

 

0 2 3

0 1

2

2

x

x 



 

  

 

0 2 3

0 1

x

x 

ThuVienDeThi.com

b, Cho 00 < < 900 và sin + cos . Tính tan .    5 7  

Vì sin + cos   5 7             cos 5 7 sin

Mà nên 1 cos sin 2 2    1 cos cos 5 7 2 2

          

 1 cos cos cos 5 14 25 49 2 2       

 0 24 cos 7 cos 50 2       0 12 cos 35 cos 25 2       0 12 cos 15 cos 20 cos 25 2        (5cos - 4) (5cos - 3) = 0   



   









5 3 cos

5 4 cos







   









5 4 sin

5 3 sin







   









3 4 tan

4 3 tan





Vậy nếu và 4 3 tan   5 4 cos   5 3 sin  

Hoặc nếu và 3 4 tan   5 3 cos   5 4 sin  

a, Ta có: ) )( ( ) ( 1 .. c a b a bc c b a a bc a bc a           Tương tự: và ) )( ( c b a b ac b     ) )( ( b c a c ab c    

Mà: ) ( 2 1 ) )( ( c a b a c a b a      

) ( 2 1 ) )( ( c b a b c b a b      

) ( 2 1 ) )( ( b c a c b c a c      

Nên 2 ) ( 2 ) 4 4 4 ( 2 1             c b a c b a ab c ac b bc a

Dấu (=) xảy ra khi a = b = c =

  

 



  

  

  

  

b c a c

c b a b

c a b a

c b a 1

 3 1

3 (3 điểm)

b, Ta có: 0 < x < 1 1 – x > 0 

Và . x

x x x x x x x A 5 5 5 1 5 1

       

5 ) 1( 5 1 5 ) 1( 5 1     …