Đề thi chọn đội tuyển HSG lớp 9-THCS tham dự kỳ thi cấp tỉnh năm học 2012 - 2013 môn Toan

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS

THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn: Toán (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang )

Câu 1 (4,5 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: A = ; 5 3 29 12 5    b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi. Câu 2 (4,0 điểm).

a) Giải phương trình: + = 3; 3 2 x  3 7 x  b) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - 2 +1 =0 2012 y  3y - 2z - 2 + 1 = 0 2013 z  3z - 2x - 2 - 2 = 0; 2 x  Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) . 2011 2012 2013

Câu 3 (3,0 điểm).

Giải hệ phương trình:

3

1 1

2 1

x y x y

y x

        Câu 4 (6,5 điểm).

Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F.

a) Gọi giao điểm của AF và BE là K. Chứng minh MK vuông góc với AB;

b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF.

Chứng minh rằng: < < ; 1 3

r R

1 2 c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5( 2,0 điểm).

Cho x, y >1. Chứng minh rằng: .

3 3 2 2 ( ) ( ) 8 ( 1).( 1) x y x y x y      

------------------Hết--------------------

ThuVienDeThi.com

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - THCS

THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013

Môn: Toán -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 1 (4,5 điểm):

a) Rút gọn biểu thức: A = ; 5 3 29 12 5    b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.

Nội dung Điểm

a) A = = 5 3 29 12 5    2 5 3 (2 5 3)    0,50

= 5 3 2 5 3    0,50

= 2 5 ( 5 1)   0,50

= = 1 5 5 1   0,50

b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông: . Ta có: 1 x y z    (1) 2 2 2 x y z   xy = 2( x + y + z). (2)

0,50 Từ (1) ta có: 2 2 2 ( ) 2 ( ) 4( ) z x y xy x y x y z          0,50

2 2 ( ) 4( ) 4 4 4 x y x y z z       

( do x+ y 2) 2 2 ( 2) ( 2) x y z      2 2 x y z       0,50 Thay z = x + y - 4 vào (2) ta được: ( x- 4) ( y - 4) = 8, suy ra: 0,50 x - 4 =1 và y - 4 =8 x = 5 và y = 12 z = 13   x - 4 =2 và y - 4 =4 x = 6 và y = 8 z = 10.   Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là: 5, 12, 13 và 6, 8, 10. 0,50

Câu 2 (4,0 điểm): a) Giải phương trình: + = 3; 3 2 x  3 7 x  b) Cho 3 số x, y,z thỏa mãn đồng thời: 3x - 2y - 2 +1 =0 2012 y  3y - 2z - 2 + 1 = 0 2013 z  3z - 2x - 2 - 2 = 0; 2 x  Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4) + ( y + 2012) + ( z - 2013) . 2011 2012 2013

Nội dung Điểm a) + = 3 3 2 x  3 7 x  . . ( + ) = 27. 2 7 3 x x      3 2 x  3 7 x  3 2 x  3 7 x  0,50

9 + 9. = 27  3 ( 2)(7 ) x x   0,50 (x + 2 ) ( 7 - x ) = 8 

x - 5x - 6 = 0  2 0,50

ThuVienDeThi.com