Đề thi chọn học sinh giỏi huyện năm học 2015-2016 môn Toán lớp 9 - Trường Thcs Thanh Thùy

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2015-2016

MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:

. x(4 x) 4 x x 3 x 2 P 1 : 1 x x 2 3 x x 5 x 6

                        

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để P > 0.

c) Tính giá trị của P với x =

3 2 + 5 +

3 2 ‒ 5

Bài 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình: ?+ 4 ?‒ 4 + ?‒ 4 = 6 ‒ ?

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất 1 1 + ?+

1 1 + ?+

1 1 + ?= 2 của Q = xyz

b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < 2.

Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông ở A . Biết AB = 3cm , AC = 4 cm. Từ B vẽ tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E. trên đoạn thẳng BE lấy F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC tại H.

a) Tính AE.

b) Chứng minh ΔAHC Δ FEC. ~

Bài 5: (6 điểm)

Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE   và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.

b) MN AD. 

c) ME.MA = MF.MD.

---------- Hết ---------- Người ra đề Tổ trưởng duyệt Duyệt BGH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ThuVienDeThi.com

UBND HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM

ĐỀ TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016

Bài Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ: x 0,x 4,x 9    0,5 đ a) 1 x 9 x 4 4 x x 4 P : 1 x ( x 2)( x 3)

                   

1 x 3 : 1 x ( x 2)( x 3)

               

1 x 2 x 2 1 1 x x 1

                 

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

b) P > 0  ?‒ 2 ?+ 1 > 0  ?‒ 2 > 0

 x > 4 Kết luận: x > 4 và x ≠ 9 thì P > 0

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ c)

x =

3 2 + 5 +

3 2 ‒ 5 => x3 = 4 + 3. .x

3 4 ‒ 5  x3 + 3x 4 = 0 ‒  x3 x2 + x2 x + 4x 4 = 0 – – –  x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) = 0  (x – 1)( x2 + x + 4) = 0 Vì x2 + x + 4 > 0 nên x – 1 = 0 => x = 1 Vậy P =

1 ‒ 2 1 + 1 =

‒ 1

2

0,5đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

Bài 2

a) Đk : 4 ≤ x ≤ 6 = 6 − x ?+ 4 ?+ 4 + ?- 4  = 6 – x ?- 4 + 4 ?+ 4 + 4 + ?- 4  + x – 6 = 0 ?- 4 + 2 + ?- 4  . (2 + ) = 0 ?- 4 ?- 4  = 0  x = 4 ?- 4 (2 + ) = 0 ( vô lý) ?- 4

Thử lại : – x  2 = 2 4 + 0 = 6 Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 4

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

ThuVienDeThi.com

b)

2x2 + 4x = 19 – 3y2  2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2  2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)  2(x+1)2 = 3(7 – y2) 7 – y2 > 0 7 – y2 2 ⋮  y2 là số lẻ , mà 7 – y2 > 0  y chỉ có thể là ± 1 2(x+1)2 = 3.6 = 18  (x+1)2 = 32  x = −4 ; x = 2 (x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1)

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

0,5 đ

Bài 3 a)

1 1 + ?+

1 1 + ?+

1 1 + ?= 2

 ≥ 2 1

1 + ?=

?

1 + ?+

?

1 + ?

?

1 + ?.

?

1 + ? Tương tự : ≥ 2 1 1 + ?=

? 1 + ?+

1 1 + ?

? 1 + ?.

? 1 + ? ≥ 2 1 1 + ?=

? 1 + ?+

1 1 + ?

? 1 + ?.

? 1 + ? Nhân vế với vế ta được :

≥ 2.2.2 = 8. 1 1 + ?.

1 1 + ?.

1 1 + ?

(???)2

(1 + ?)2.(1 + ?)2.(1 + ?)2

??? (1 + ?).(1 + ?).(1 + ?)  1 ≥ 8xyz  ≥ xyz hay xyz ≤

1 8

1 8

Max Q = khi x = y = z =

1

8

1

2

0,5đ

0,5đ

0,5đ)

(0,5đ)

b) Ta có: 0 < a < b + c => 2a < a + b + c => a < 1 0 < b < a + c => 2b < a + b + c => b < 1 0 < c < b + a => 2c < a + b + c => c < 1

=> (a – 1) (b – 1) (c – 1) < 0  abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < 1

 2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < 2 (vì a + b + c = 2)

 2abc + a2 + b2 + c2 < 2 (đccm)

0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

(0,5đ)

Bài 4: vẽ hình đúng 0,5đ E

ThuVienDeThi.com