Đê thi chon HSG vong 2 môn Toan 9 - Trương THCS Phu Lương

TRƯỜNG THCS PHÚ LƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2

MÔN: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút

Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức A =  

  





  

   

  

  

   

3

5

5

3

15 2

25 : 1 25 5

x

x

x

x

x x

x x

x x

1) Rút gọn A 2) Tìm số nguyên x để A nguyên 3) Với x , x 25, x 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0   

B = 5

) 16 (  x A

Bài 2:(4,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x + x + y + 1 = x2 + 2y2 + xy 2) Giải phương trình  2 x 4x + 5 = 2 2x+3

Bài 3:(4,0 điểm)

1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và . 1 1 1 4 x y z   

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z        2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm GTNN của : 1 a b  

ab ab b a A 4 1 1

2 2    

Bài 4:(5,0 điểm)

Cho đường tròn (O; ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với R nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.

1) Tính A A A A 2 2 2 2 sin sin sin sin MBA MAB MCD MDC    2) Chứng minh: 2 (2 ) OK AH R AH   3) Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.

Bài 5: (1,0 điểm)

Tìm n N* sao cho: n4 + n3 + 1 là số chính phương. 

Ghi chú : Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG 2

MÔN: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút

Bài 1: (6 điểm)

Cho biểu thức A =  

  





  

   

  

  

   

3

5

5

3

15 2

25 : 1 25 5

x

x

x

x

x x

x x

x x

1. Rút gọn A 2. Tìm số nguyên x để A nguyên 3. Với x , x 25, x 9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 0   

B = 5

) 16 (  x A

Bài 1: (6điểm)

1. Tìm đúng điều kiện (2,5đ) 9 , 25 ,0    x x x

Rút gọn

3

5

 

x A

2. x z => là Ư(5) (1,5đ)  3  x

=>

  



   

 

4 5 3

1 3

x x

loai x

3. (2,0đ) 3

16

3 ( 5

) 16 ( 5 5

) 16 (



  

   

x

x

x

x x A B

6 3

25 3 3

25 3         

x x x x

=> => min B = 4 x=4 4  B  Bài 2:(4 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Giải: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy 2y2x- 2y2- x2+ x- xy + y = -1 

2y2(x-1)- x(x-1)- y(x-1) = -1 

(x-1)(2y2-x-y) = -1 

* 2

1 1 2 2( ) ( 1)(2 1) 0 1 2 1

x x x y Z y y y y x y

                     

* 2

1 1 0 1 2 1

x x

y y x y

             Vậy nghiệm của phương trỡnh là: (2;1),(0;1)

2) Giải phương trình (1) 2 x 4x+5=2 2x+3 

Điều kiện: 3 2x+3 0 x - 2   

(1) 2 x 4x+5-2 2x+3 0   

2 x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0   

ThuVienDeThi.com

2 2 (x 1) ( 2x+3 1) 0     

x 1 0

2x+3 1 0

    

x 1 2x+3=1

  

 thỏa mãn điều kiện x 1   Bài 3:(4 điểm)

1) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và . 1 1 1 4 x y z   

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z       

Áp dụng bất đẳng thức (với x,y > 0)

1 1 4 x y x y   

Ta có: ;

1 1 1 1 ( ) 2x+y+z 4 2x y z   

1 1 1 y z 4y 4z   

Suy ra: (1)

1 1 1 1 1 ( ) 2x+y+z 4 2x 4y 4z   

Tương tự: (2)

1 1 1 1 1 ( ) x+2y+z 4 4x 2y 4z   

(3)

1 1 1 1 1 ( ) x+y+2z 4 4x 4y 2z   

Từ (1),(2),(3)

1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z      

1 1 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z    

Dấu "=" xảy ra

3 x y z 4    

2) Cho 2 số thực dương thỏa mãn . Tìm GTNN của : 1 a b  

ab ab b a A 4 1 1

2 2    

 

  ab b a ab ab b a

ab b a

ab b a A

4

1 2 4 4

1 2

2

2 1 .2

4

1 4

1 . 4 2 2 1 2

4

1 4

1 4 2

1 1

2 2 2

2 2

2 2

        

   

     

ThuVienDeThi.com